Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme40m Structured version   Unicode version

Theorem cdleme40m 36068
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT Use proof idea from cdleme32sn1awN 36033. (Contributed by NM, 18-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme40.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme40.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme40.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme40.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme40.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme40.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme40.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme40.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
cdleme40.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
cdleme40a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40a1.c  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
cdleme40.t  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdleme40.f  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme40m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F )
Distinct variable groups:    v, A    v, B    v, H    v,  .\/    v, K    v,  .<_    v,  ./\    v, P    v, Q    v, R    v, U    v, W, s, t, y    A, s   
y, t, A    B, s, t, y    E, s   
t, F    t, H, y    .\/ , s, t, y   
t, K, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s,
t, y    P, s,
t, y    Q, s,
t, y    R, s,
t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    t, S, v, y    T, s, t, y
Allowed substitution hints:    C( y, v, t, s)    D( y, v, t, s)    S( s)    T( v)    U( s)    E( y, v, t)    F( y, v, s)    G( y, v, t, s)    H( s)    I( y, v, t, s)    K( s)    N( y, v, t, s)    Y( v, t, s)

Proof of Theorem cdleme40m
StepHypRef Expression
1 simp22l 1116 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  e.  A )
2 simp3l1 1102 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
3 cdleme40.g . . . 4  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
4 cdleme40.i . . . 4  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
5 cdleme40.n . . . 4  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
6 cdleme40a1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
7 cdleme40a1.c . . . 4  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
83, 4, 5, 6, 7cdleme31sn1c 35989 . . 3  |-  ( ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  C )
91, 2, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  C )
10 cdleme40.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 fvex 5866 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2527 . . 3  |-  B  e. 
_V
13 nfv 1694 . . . 4  |-  F/ t ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )
14 nfra1 2824 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y )
15 nfcv 2605 . . . . . . . 8  |-  F/_ t B
1614, 15nfriota 6251 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
177, 16nfcxfr 2603 . . . . . 6  |-  F/_ t C
18 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ t F
1917, 18nfne 2774 . . . . 5  |-  F/ t  C  =/=  F
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  F/ t  C  =/=  F
)
217a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  Y ) ) )
22 neeq1 2724 . . . . 5  |-  ( Y  =  C  ->  ( Y  =/=  F  <->  C  =/=  F ) )
2322adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  Y  =  C )  ->  ( Y  =/=  F  <->  C  =/=  F ) )
24 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
25 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )
26 simpl3l 1052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )
27 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
t  e.  A )
28 simprrl 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
29 simprrr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3027, 28, 29jca31 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
31 simp3r1 1105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  v  e.  A )
32 simp3r2 1106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  W )
33 simp3r3 1107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3431, 32, 33jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
3534adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
36 cdleme40.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
37 cdleme40.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
38 cdleme40.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
39 cdleme40.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
40 cdleme40.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41 cdleme40.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
42 cdleme40.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
43 cdleme40.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
44 cdleme40.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
4536, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 43, 44cdleme39n 36067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Y  =/=  F )
4624, 25, 26, 30, 35, 45syl113anc 1241 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Y  =/=  F )
4746ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Y  =/=  F ) )
48 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
49 simp22r 1117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
50 simp21 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
5110, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 7cdleme25cl 35958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  C  e.  B )
5248, 1, 49, 50, 2, 51syl122anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  e.  B )
53 simp11 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
55 simp13 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5636, 37, 39, 40cdlemb2 35640 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5753, 54, 55, 50, 56syl121anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5813, 20, 21, 23, 47, 52, 57riotasv3d 34566 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  B  e.  _V )  ->  C  =/=  F )
5912, 58mpan2 671 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =/=  F )
609, 59eqnetrd 2736 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   F/wnf 1603    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   [_csb 3420   ifcif 3926   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   lecple 14686   joincjn 15552   meetcmee 15553   Atomscatm 34863   HLchlt 34950   LHypclh 35583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-undef 7004  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587
This theorem is referenced by:  cdleme40n  36069
  Copyright terms: Public domain W3C validator