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Theorem cdleme3h 30717
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme3fa 30718 and cdleme3 30719. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme1.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme1.f  |-  F  =  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
) )
cdleme3.3  |-  V  =  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme3h  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )

Proof of Theorem cdleme3h
StepHypRef Expression
1 cdleme1.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdleme1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cdleme1.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cdleme1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdleme1.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdleme1.u . . 3  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
7 cdleme1.f . . 3  |-  F  =  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
) )
8 cdleme3.3 . . 3  |-  V  =  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 30713 . 2  |-  F  =  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  V ) )
10 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
11 simp23l 1078 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
12 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
14 simp22l 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
15 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  Q )
161, 2, 3, 4, 5, 6lhpat2 30527 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
1712, 13, 14, 15, 16syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  U  e.  A )
18 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 2, 4hlatjcl 29849 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( R  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
2010, 11, 17, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
21 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
2211, 21jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3e 30714 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  V  e.  A )
2412, 13, 14, 22, 23syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  V  e.  A )
2518, 2, 4hlatjcl 29849 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
2610, 14, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
)
27 hllat 29846 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2810, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp21l 1074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
3018, 2, 4hlatjcl 29849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3110, 29, 14, 30syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
32 simp1r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
3318, 5lhpbase 30480 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3518, 1, 3latmle2 14461 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
3628, 31, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
376, 36syl5eqbr 4205 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  U  .<_  W )
38 simp23r 1079 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
39 nbrne2 4190 . . . . . 6  |-  ( ( U  .<_  W  /\  -.  R  .<_  W )  ->  U  =/=  R
)
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  U  =/=  R )
4140necomd 2650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  =/=  U )
42 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Lines `  K )  =  (
Lines `  K )
43 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
442, 4, 42, 43linepmap 30257 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  A  /\  U  e.  A )  /\  R  =/=  U
)  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( R  .\/  U ) )  e.  ( Lines `  K ) )
4528, 11, 17, 41, 44syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( R  .\/  U ) )  e.  ( Lines `  K ) )
4618, 2, 4hlatjcl 29849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
4710, 29, 11, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
4818, 1, 3latmle2 14461 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  .<_  W )
4928, 47, 34, 48syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  .<_  W )
508, 49syl5eqbr 4205 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  V  .<_  W )
51 simp22r 1077 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
52 nbrne2 4190 . . . . . 6  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  V  =/=  Q
)
5350, 51, 52syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  V  =/=  Q )
5453necomd 2650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  =/=  V )
552, 4, 42, 43linepmap 30257 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  Q  =/=  V
)  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( Q  .\/  V ) )  e.  ( Lines `  K ) )
5628, 14, 24, 54, 55syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( Q  .\/  V ) )  e.  ( Lines `  K ) )
571, 2, 4hlatlej1 29857 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  R  .<_  ( R  .\/  U ) )
5810, 11, 17, 57syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( R  .\/  U ) )
59 nbrne2 4190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  R  .<_  W )  ->  V  =/=  R
)
6050, 38, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  V  =/=  R )
6160necomd 2650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  =/=  V )
621, 2, 4hlatexch2 29878 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  R  =/=  V )  ->  ( R  .<_  ( Q  .\/  V
)  ->  Q  .<_  ( R  .\/  V ) ) )
6310, 11, 14, 24, 61, 62syl131anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( Q  .\/  V
)  ->  Q  .<_  ( R  .\/  V ) ) )
648oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( R 
.\/  V )  =  ( R  .\/  (
( P  .\/  R
)  ./\  W )
)
651, 2, 4hlatlej2 29858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  R  .<_  ( P  .\/  R ) )
6610, 29, 11, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  R ) )
6718, 1, 3latmle1 14460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  R ) )
6828, 47, 34, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  R ) )
6918, 4atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
7011, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
7118, 3latmcl 14435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
7228, 47, 34, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
7318, 1, 2latjle12 14446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( R  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  R
) )  <->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
7428, 70, 72, 47, 73syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( R  .<_  ( P  .\/  R )  /\  ( ( P  .\/  R ) 
./\  W )  .<_  ( P  .\/  R ) )  <->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
7566, 68, 74mpbi2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  R )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  R ) )
7664, 75syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  R ) )
7718, 4atbase 29772 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
7814, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
7918, 2, 4hlatjcl 29849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( R  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
8010, 11, 24, 79syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
)
8118, 1lattr 14440 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  V )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( R 
.\/  V )  /\  ( R  .\/  V ) 
.<_  ( P  .\/  R
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R
) ) )
8228, 78, 80, 47, 81syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( R  .\/  V )  /\  ( R 
.\/  V )  .<_  ( P  .\/  R ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
8376, 82mpan2d 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( R  .\/  V
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
8415necomd 2650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  =/=  P )
851, 2, 4hlatexch1 29877 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  Q  =/=  P )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  R
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
8610, 14, 11, 29, 84, 85syl131anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  R
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
8763, 83, 863syld 53 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( Q  .\/  V
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
8821, 87mtod 170 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( Q  .\/  V
) )
89 nbrne1 4189 . . . 4  |-  ( ( R  .<_  ( R  .\/  U )  /\  -.  R  .<_  ( Q  .\/  V ) )  ->  ( R  .\/  U )  =/=  ( Q  .\/  V
) )
9058, 88, 89syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  U )  =/=  ( Q  .\/  V ) )
9114, 15jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  P  =/= 
Q ) )
92 simp23 992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
93 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 93cdleme3c 30712 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) ) )  ->  F  =/=  ( 0. `  K ) )
9512, 13, 91, 92, 94syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  =/=  ( 0. `  K ) )
969, 95syl5eqner 2592 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  V ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
9718, 3, 93, 4, 42, 432lnat 30266 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  .\/  U
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( ( pmap `  K
) `  ( R  .\/  U ) )  e.  ( Lines `  K )  /\  ( ( pmap `  K
) `  ( Q  .\/  V ) )  e.  ( Lines `  K )
)  /\  ( ( R  .\/  U )  =/=  ( Q  .\/  V
)  /\  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  V ) )  =/=  ( 0.
`  K ) ) )  ->  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  V ) )  e.  A )
9810, 20, 26, 45, 56, 90, 96, 97syl322anc 1212 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( R  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  V ) )  e.  A )
999, 98syl5eqel 2488 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   0.cp0 14421   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   Linesclines 29976   pmapcpmap 29979   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  cdleme3fa  30718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470
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