Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme38m Structured version   Unicode version

Theorem cdleme38m 34005
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 13-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme38.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme38.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme38.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme38.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme38.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme38.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme38.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme38.d  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
cdleme38.v  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
cdleme38.x  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
cdleme38.f  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
cdleme38.g  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme38m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )

Proof of Theorem cdleme38m
StepHypRef Expression
1 simp1 1006 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp2 1007 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )
3 simp311 1153 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4 simp312 1154 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 simp313 1155 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  F  =  G )
63, 4jca 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
7 simp32 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
8 simp33 1044 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
9 cdleme38.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme38.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme38.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme38.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme38.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme38.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
15 cdleme38.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
16 cdleme38.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
17 cdleme38.v . . . . . 6  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
18 cdleme38.x . . . . . 6  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
19 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( ( S  .\/  V ) 
./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( S  .\/  V
)  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
20 cdleme38.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
219, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdleme37m 34004 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( S  .\/  V
)  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  G )
221, 2, 6, 7, 8, 21syl113anc 1277 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  G )
235, 22eqtr4d 2467 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  F  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
243, 4, 233jca 1186 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  F  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) ) ) )
25 eqid 2423 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
26 cdleme38.f . . 3  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
2725, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 26, 19cdleme36m 34003 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )
281, 2, 24, 7, 27syl112anc 1269 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  G )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1873    =/= wne 2619   class class class wbr 4429   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   Basecbs 15126   lecple 15202   joincjn 16194   meetcmee 16195   Atomscatm 32804   HLchlt 32891   LHypclh 33524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-op 4011  df-uni 4226  df-iun 4307  df-iin 4308  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-id 4774  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-preset 16178  df-poset 16196  df-plt 16209  df-lub 16225  df-glb 16226  df-join 16227  df-meet 16228  df-p0 16290  df-p1 16291  df-lat 16297  df-clat 16359  df-oposet 32717  df-ol 32719  df-oml 32720  df-covers 32807  df-ats 32808  df-atl 32839  df-cvlat 32863  df-hlat 32892  df-llines 33038  df-lplanes 33039  df-lvols 33040  df-lines 33041  df-psubsp 33043  df-pmap 33044  df-padd 33336  df-lhyp 33528
This theorem is referenced by:  cdleme38n  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator