Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme37m Structured version   Unicode version

Theorem cdleme37m 33461
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 13-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme37.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme37.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme37.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme37.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme37.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme37.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme37.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme37.d  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
cdleme37.v  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
cdleme37.x  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
cdleme37.c  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme37.g  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme37m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  G )

Proof of Theorem cdleme37m
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp23 1032 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 simp32l 1122 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
4 simp33l 1124 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) )
5 simp21 1030 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
6 simp32r 1123 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 simp33r 1125 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) )
8 simp31r 1121 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
96, 7, 83jca 1177 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
10 cdleme37.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdleme37.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 cdleme37.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
13 cdleme37.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
14 cdleme37.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 cdleme37.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
16 cdleme37.e . . . 4  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
17 cdleme37.d . . . 4  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( S  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
)
19 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( S  .\/  u ) 
./\  W )  =  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
)
20 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
21 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )
2210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme21k 33337 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) ) )
231, 2, 3, 4, 5, 9, 22syl132anc 1248 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) ) )
24 simp11 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12l 1110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  e.  A )
26 simp13l 1112 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
2710, 11, 12, 13, 14, 15cdleme4 33236 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S 
.\/  U ) )
2824, 25, 26, 2, 8, 27syl131anc 1243 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  U
) )
29 cdleme37.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
3010, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme2 33226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) ) )  ->  ( (
t  .\/  E )  ./\  W )  =  U )
3124, 25, 26, 3, 30syl13anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  E
)  ./\  W )  =  U )
3229, 31syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  V  =  U )
3332oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  V )  =  ( S  .\/  U
) )
3428, 33eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  V
) )
35 simp11l 1108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
36 simp23l 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  e.  A )
373simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
3811, 13hlatjcom 32365 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( S  .\/  t
)  =  ( t 
.\/  S ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  t )  =  ( t  .\/  S
) )
4039oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( S  .\/  t
)  ./\  W )  =  ( ( t 
.\/  S )  ./\  W ) )
4140oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  .\/  ( ( S 
.\/  t )  ./\  W ) )  =  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
4234, 41oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
43 cdleme37.c . . 3  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
4442, 43syl6reqr 2462 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t ) 
./\  W ) ) ) )
45 cdleme37.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
4610, 11, 12, 13, 14, 15, 17cdleme2 33226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) ) )  ->  ( (
u  .\/  D )  ./\  W )  =  U )
4724, 25, 26, 4, 46syl13anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( u  .\/  D
)  ./\  W )  =  U )
4845, 47syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  X  =  U )
4948oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  X )  =  ( S  .\/  U
) )
5028, 49eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  X
) )
514simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  u  e.  A )
5211, 13hlatjcom 32365 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( S  .\/  u
)  =  ( u 
.\/  S ) )
5335, 36, 51, 52syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  u )  =  ( u  .\/  S
) )
5453oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( S  .\/  u
)  ./\  W )  =  ( ( u 
.\/  S )  ./\  W ) )
5554oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( D  .\/  ( ( S 
.\/  u )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
5650, 55oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
57 cdleme37.g . . 3  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
5856, 57syl6reqr 2462 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  G  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u ) 
./\  W ) ) ) )
5923, 44, 583eqtr4d 2453 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   lecple 14914   joincjn 15895   meetcmee 15896   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985
This theorem is referenced by:  cdleme38m  33462
  Copyright terms: Public domain W3C validator