Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme36m Unicode version

Theorem cdleme36m 30943
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 11-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme36.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme36.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme36.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme36.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme36.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme36.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme36.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme36.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme36.v  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
cdleme36.f  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
cdleme36.c  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme36m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )

Proof of Theorem cdleme36m
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp3rl 1030 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
3 simp12 988 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 simp13 989 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5 simp21 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
6 simp3rr 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 cdleme36.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdleme36.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme36.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdleme36.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdleme36.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdleme36.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
13 cdleme36.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3fa 30718 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  E  e.  A )
151, 3, 4, 2, 5, 6, 14syl132anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  E  e.  A
)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3 30719 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  E  .<_  W )
171, 3, 4, 2, 5, 6, 16syl132anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  E  .<_  W )
1815, 17jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  e.  A  /\  -.  E  .<_  W ) )
19 simp13l 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
2019, 5jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  P  =/= 
Q ) )
217, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3b 30711 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) ) )  ->  E  =/=  t
)
221, 3, 20, 2, 21syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  E  =/=  t
)
2322necomd 2650 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  t  =/=  E
)
24 simp22 991 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
25 simp23 992 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
26 simp3l1 1062 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
27 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
28 cdleme36.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2928, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 30942 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )
301, 3, 19, 5, 24, 26, 27, 29syl331anc 1209 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )
31 simp3l2 1063 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3228, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 30942 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( t  .\/  E ) )
331, 3, 19, 5, 25, 31, 27, 32syl331anc 1209 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( t  .\/  E ) )
34 simp3l3 1064 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  F  =  C )
35 cdleme36.v . . 3  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
36 cdleme36.f . . 3  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
37 cdleme36.c . . 3  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
387, 8, 9, 10, 11, 35, 36, 37cdleme35h 30938 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( E  e.  A  /\  -.  E  .<_  W ) )  /\  ( t  =/=  E  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( t  .\/  E )  /\  -.  S  .<_  ( t  .\/  E )  /\  F  =  C ) )  ->  R  =  S )
391, 2, 18, 23, 24, 25, 30, 33, 34, 38syl333anc 1216 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  cdleme38m  30945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470
  Copyright terms: Public domain W3C validator