Theorem cdleme32sn1awN 34070

Description: Show that [_ R / s ]_ N is an atom not under W when R .<_ ( P .\/ Q ). (Contributed by NM, 6-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme32.b	|- B = ( Base ` K )
cdleme32.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c	|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i	|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32a1.y	|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32a1.z	|- Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme32sn1awN	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( [_ R / s ]_ N e. A /\ -. [_ R / s ]_ N .<_ W ) )

Distinct variable groups:   t, s, y, A   B, s, t, y   y, C   D, s, y   y, E   H, s, t   .\/ , s, t, y   K, s, t   .<_ , s, t, y   ./\ , s, t, y   P, s, t, y   Q, s, t, y   U, s, t, y   W, s, t, y   R, s, t, y   y, H   y, K   y, Y

Allowed substitution hints:   C( t, s)   D( t)   E( t, s)   I( y, t, s)   N( y, t, s)   Y( t, s)   Z( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme32sn1awN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme32.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		cdleme32.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdleme32.j	. 2 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdleme32.m	. 2 |- ./\ = ( meet ` K )
5		cdleme32.a	. 2 |- A = ( Atoms ` K )
6		cdleme32.h	. 2 |- H = ( LHyp ` K )
7		cdleme32.u	. 2 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdleme32.d	. 2 |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdleme32.e	. 2 |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdleme32.i	. 2 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
11		cdleme32.n	. 2 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
12		cdleme32a1.y	. 2 |- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
13		cdleme32a1.z	. 2 |- Z = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cdlemefs32sn1aw 34052	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( [_ R / s ]_ N e. A /\ -. [_ R / s ]_ N .<_ W ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   [_csb 3349   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   meetcmee 16268   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-undef 7038  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624

This theorem is referenced by: (None)