Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32le Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem cdleme32le 34085
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b |- B = ( Base ` K )
cdleme32.l |- .<_ = ( le ` K )
cdleme32.j |- .\/ = ( join ` K )
cdleme32.m |- ./\ = ( meet ` K )
cdleme32.a |- A = ( Atoms ` K )
cdleme32.h |- H = ( LHyp ` K )
cdleme32.u |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme32.c |- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
cdleme32.d |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.e |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme32.i |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
cdleme32.n |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
cdleme32.o |- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
cdleme32.f |- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32le |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
Distinct variable groups:   t, s, x, y, z, A   B, s, t, x, y, z   y, C   D, s, y, z   y, E   H, s, t   .\/ , s, t, x, y, z   K, s, t   .<_ , s, t, x, y, z   ./\ , s, t, x, y, z   x, N, z   P, s, t, x, y, z   Q, s, t, x, y, z   U, s, t, x, y, z   W, s, t, x, y, z   X, s, t, x, z   y, H   y, K   y, Y   z, H   z, K   Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:   C( x, z, t, s)   D( x, t)   E( x, z, t, s)   F( x, y, z, t, s)   H( x)   I( x, y, z, t, s)   K( x)   N( y, t, s)   O( x, y, z, t, s)   X( y)
Proof of Theorem cdleme32le
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
2 simpl2l 1083 . . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
3 simpl2r 1084 . . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> Y e. B )
4 simpr 468 . . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
5 simpl3 1035 . . 3 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
6 cdleme32.b . . . 4 |- B = ( Base ` K )
7 cdleme32.l . . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
8 cdleme32.j . . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9 cdleme32.m . . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10 cdleme32.a . . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
11 cdleme32.h . . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
12 cdleme32.u . . . 4 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
13 cdleme32.c . . . 4 |- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
14 cdleme32.d . . . 4 |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
15 cdleme32.e . . . 4 |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
16 cdleme32.i . . . 4 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) )
17 cdleme32.n . . . 4 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
18 cdleme32.o . . . 4 |- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
19 cdleme32.f . . . 4 |- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme32d 34082 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
211, 2, 3, 4, 5, 20syl131anc 1305 . 2 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
22 simp11 1060 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
23 simp12 1061 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
24 simp3 1032 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
25 simp2 1031 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) )
26 simp13 1062 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
276, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme32f 34084 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
2822, 23, 24, 25, 26, 27syl131anc 1305 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
29283exp 1230 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
30 simp13 1062 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X .<_ Y )
31 simp12l 1143 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> X e. B )
32 simp3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) )
3319cdleme31fv2 34031 . . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
3431, 32, 33syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) = X )
35 simp12r 1144 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> Y e. B )
36 simp2 1031 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) )
3719cdleme31fv2 34031 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. B /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( F ` Y ) = Y )
3835, 36, 37syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` Y ) = Y )
3930, 34, 383brtr4d 4426 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
40393exp 1230 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. Y .<_ W ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
4129, 40pm2.61d 163 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
4241imp 436 . 2 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) /\ -. ( P =/= Q /\ -. X .<_ W ) ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
4321, 42pm2.61dan 808 1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   meetcmee 16268   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-undef 7038  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624
This theorem is referenced by:  cdlemeg49le  34149  cdlemeg49lebilem  34177
  Copyright terms: Public domain W3C validator