Theorem cdleme31sn1c 30870

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme31sn1c.g	|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.i	|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme31sn1c.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme31sn1c.y	|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.c	|- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme31sn1c	|- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Distinct variable groups:   t, s, y, A   B, s   E, s   .\/ , s, t, y   .<_ , s, t, y   ./\ , s   P, s, t, y   Q, s, t, y   R, s, t, y   W, s

Allowed substitution hints:   B( y, t)   C( y, t, s)   D( y, t, s)   E( y, t)   G( y, t, s)   I( y, t, s)   ./\ ( y, t)   N( y, t, s)   W( y, t)   Y( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme31sn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme31sn1c.i	. . 3 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
2		cdleme31sn1c.n	. . 3 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
3		eqid 2404	. . 3 |- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) )
4	1, 2, 3	cdleme31sn1 30863	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) )
5		cdleme31sn1c.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
6		cdleme31sn1c.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
7	5, 6	cdleme31se 30864	. . . . . . . 8 |- ( R e. A -> [_ R / s ]_ G = Y )
8	7	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ G = Y )
9	8	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( y = [_ R / s ]_ G <-> y = Y ) )
10	9	imbi2d 308	. . . . 5 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
11	10	ralbidv 2686	. . . 4 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
12	11	riotabidv 6510	. . 3 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
13		cdleme31sn1c.c	. . 3 |- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14	12, 13	syl6eqr 2454	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = C )
15	4, 14	eqtrd 2436	1 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211   ifcif 3699   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   iota_crio 6501

This theorem is referenced by:  cdlemefs32sn1aw  30896  cdleme43fsv1snlem  30902  cdleme41sn3a  30915  cdleme40m  30949  cdleme40n  30950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508