Theorem cdleme31sn1c 34026

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme31sn1c.g	|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.i	|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme31sn1c.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme31sn1c.y	|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.c	|- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme31sn1c	|- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Distinct variable groups:   t, s, y, A   B, s   E, s   .\/ , s, t, y   .<_ , s, t, y   ./\ , s   P, s, t, y   Q, s, t, y   R, s, t, y   W, s

Allowed substitution hints:   B( y, t)   C( y, t, s)   D( y, t, s)   E( y, t)   G( y, t, s)   I( y, t, s)   ./\ ( y, t)   N( y, t, s)   W( y, t)   Y( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme31sn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme31sn1c.i	. . 3 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
2		cdleme31sn1c.n	. . 3 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
3		eqid 2471	. . 3 |- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) )
4	1, 2, 3	cdleme31sn1 34019	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) )
5		cdleme31sn1c.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
6		cdleme31sn1c.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
7	5, 6	cdleme31se 34020	. . . . . . . 8 |- ( R e. A -> [_ R / s ]_ G = Y )
8	7	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ G = Y )
9	8	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( y = [_ R / s ]_ G <-> y = Y ) )
10	9	imbi2d 323	. . . . 5 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
11	10	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
12	11	riotabidv 6272	. . 3 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
13		cdleme31sn1c.c	. . 3 |- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14	12, 13	syl6eqr 2523	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = C )
15	4, 14	eqtrd 2505	1 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349   ifcif 3872   class class class wbr 4395   iota_crio 6269  (class class class)co 6308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-iota 5553  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311

This theorem is referenced by:  cdlemefs32sn1aw  34052  cdleme43fsv1snlem  34058  cdleme41sn3a  34071  cdleme40m  34105  cdleme40n  34106