Theorem cdleme31sn1c 35590

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme31sn1c.g	|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.i	|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme31sn1c.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme31sn1c.y	|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.c	|- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme31sn1c	|- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Distinct variable groups:   t, s, y, A   B, s   E, s   .\/ , s, t, y   .<_ , s, t, y   ./\ , s   P, s, t, y   Q, s, t, y   R, s, t, y   W, s

Allowed substitution hints:   B( y, t)   C( y, t, s)   D( y, t, s)   E( y, t)   G( y, t, s)   I( y, t, s)   ./\ ( y, t)   N( y, t, s)   W( y, t)   Y( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme31sn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme31sn1c.i	. . 3 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
2		cdleme31sn1c.n	. . 3 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) )
4	1, 2, 3	cdleme31sn1 35583	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) )
5		cdleme31sn1c.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
6		cdleme31sn1c.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
7	5, 6	cdleme31se 35584	. . . . . . . 8 |- ( R e. A -> [_ R / s ]_ G = Y )
8	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ G = Y )
9	8	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( y = [_ R / s ]_ G <-> y = Y ) )
10	9	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
11	10	ralbidv 2906	. . . 4 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
12	11	riotabidv 6258	. . 3 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
13		cdleme31sn1c.c	. . 3 |- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14	12, 13	syl6eqr 2526	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = C )
15	4, 14	eqtrd 2508	1 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   [_csb 3440   ifcif 3945   class class class wbr 4453   iota_crio 6255  (class class class)co 6295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298

This theorem is referenced by:  cdlemefs32sn1aw  35616  cdleme43fsv1snlem  35622  cdleme41sn3a  35635  cdleme40m  35669  cdleme40n  35670