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Theorem cdleme30a 34022
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme30.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme30.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme30.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme30.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme30.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme30.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdleme30a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )

Proof of Theorem cdleme30a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 33008 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  e.  A
)
5 cdleme30.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cdleme30.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 32934 . . . 4  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
84, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  e.  B
)
9 simp23 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
10 simp1r 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  H
)
11 cdleme30.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
125, 11lhpbase 33642 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  B
)
14 cdleme30.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 14latmcl 15222 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
163, 9, 13, 15syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  W )  e.  B )
17 simp22l 1107 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
18 cdleme30.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 18latjass 15265 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( s  e.  B  /\  ( Y  ./\  W
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  .\/  X )  =  ( s 
.\/  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X ) ) )
203, 8, 16, 17, 19syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X
)  =  ( s 
.\/  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X ) ) )
21 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )
22 simp3r 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
23 cdleme30.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
245, 23, 14latmlem1 15251 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) ) )
253, 17, 9, 13, 24syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W ) ) )
2622, 25mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W ) )
275, 14latmcl 15222 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
283, 17, 13, 27syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
295, 23, 18latjlej2 15236 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  W )  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B  /\  s  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W )  ->  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
303, 28, 16, 8, 29syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W
) ) ) )
3126, 30mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W
) ) )
3221, 31eqbrtrrd 4314 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) )
335, 18latjcl 15221 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  -> 
( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )
343, 8, 16, 33syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )
355, 23, 18latleeqj2 15234 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )  -> 
( X  .<_  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  <->  ( (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  .\/  X )  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
363, 17, 34, 35syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  ( s  .\/  ( Y 
./\  W ) )  <-> 
( ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X )  =  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
3732, 36mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X
)  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) )
38 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
395, 23, 18, 14, 11lhpmod2i2 33682 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  X  .<_  Y )  ->  (
( Y  ./\  W
)  .\/  X )  =  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) ) )
4038, 9, 17, 22, 39syl121anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X )  =  ( Y 
./\  ( W  .\/  X ) ) )
4140oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( ( Y  ./\  W )  .\/  X ) )  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) ) ) )
42 simp22 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
445, 23, 18, 43, 11lhpj1 33666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  X
)  =  ( 1.
`  K ) )
4538, 42, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( W  .\/  X )  =  ( 1.
`  K ) )
4645oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) )  =  ( Y 
./\  ( 1. `  K ) ) )
47 hlol 33006 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
481, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  OL )
495, 14, 43olm11 32872 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  ./\  ( 1. `  K ) )  =  Y )
5048, 9, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( 1. `  K ) )  =  Y )
5146, 50eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) )  =  Y )
5251oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  ( W 
.\/  X ) ) )  =  ( s 
.\/  Y ) )
535, 23, 18latlej1 15230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
s  .<_  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
543, 8, 28, 53syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) ) )
5554, 21breqtrd 4316 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  X )
565, 23, 3, 8, 17, 9, 55, 22lattrd 15228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  Y )
575, 23, 18latleeqj1 15233 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( s  .<_  Y  <->  ( s  .\/  Y )  =  Y ) )
583, 8, 9, 57syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .<_  Y 
<->  ( s  .\/  Y
)  =  Y ) )
5956, 58mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  Y )  =  Y )
6041, 52, 593eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( ( Y  ./\  W )  .\/  X ) )  =  Y )
6120, 37, 603eqtr3d 2483 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   joincjn 15114   meetcmee 15115   1.cp1 15208   Latclat 15215   OLcol 32819   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LHypclh 33628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632
This theorem is referenced by:  cdleme32b  34086
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