Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27N Structured version   Unicode version

Theorem cdleme27N 34322
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Eliminate the  s  =/=  t antecedent in cdleme27a 34320. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme27.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme27.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme27.z  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.d  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme27.c  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
cdleme27.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme27.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme27.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
cdleme27.y  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
Assertion
Ref Expression
cdleme27N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    t, s, u, z, A    B, s,
t, u, z    u, F    u, G    H, s,
t, z    .\/ , s, t, u, z    K, s, t, z    .<_ , s, t, u, z    ./\ , s,
t, u, z    t, N, u    O, s, u    P, s, t, u, z    Q, s, t, u, z    U, s, t, u, z   
z, V    W, s,
t, u, z
Allowed substitution hints:    C( z, u, t, s)    D( z, u, t, s)    E( z, u, t, s)    F( z, t, s)    G( z, t, s)    H( u)    K( u)    N( z, s)    O( z, t)    V( u, t, s)    Y( z, u, t, s)    Z( z, u, t, s)

Proof of Theorem cdleme27N
StepHypRef Expression
1 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdleme27.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 cdleme27.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
9 cdleme27.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
10 cdleme27.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( s  .\/  z )  ./\  W
) ) )
11 cdleme27.d . . . . 5  |-  D  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
12 cdleme27.c . . . . 5  |-  C  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  D ,  F
)
13 cdleme27.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
14 cdleme27.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Z  .\/  ( ( t  .\/  z )  ./\  W
) ) )
15 cdleme27.e . . . . 5  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
16 cdleme27.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( t  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  E ,  G
)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27b 34321 . . . 4  |-  ( s  =  t  ->  C  =  Y )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  =  Y )
19 simp11l 1099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
20 hllat 33317 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
22 simp11r 1100 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
23 simp21 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
24 simp22 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
25 simp23 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
26 simp12 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 9, 14, 15, 16cdleme27cl 34319 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  Y  e.  B )
2819, 22, 23, 24, 25, 26, 27syl222anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp3rl 1061 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
301, 5atbase 33243 . . . . . 6  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  B )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  B )
321, 2, 3latlej1 15341 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3321, 28, 31, 32syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V
) )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  Y  .<_  ( Y  .\/  V ) )
3518, 34eqbrtrd 4413 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
36 simpl11 1063 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
37 simpl12 1064 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  P  =/=  Q )
38 simpl13 1065 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
39 simpl21 1066 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
40 simpl22 1067 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
41 simpl23 1068 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
42 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  =/=  t )
43 simpl3l 1043 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  s  .<_  ( t  .\/  V
) )
4442, 43jca 532 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  (
s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
45 simpl3r 1044 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27a 34320 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( s  =/=  t  /\  s  .<_  ( t  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V ) )
4736, 37, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 46syl332anc 1250 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  /\  s  =/=  t )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
4835, 47pm2.61dane 2766 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  =/=  Q  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( s  .<_  ( t 
.\/  V )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  C  .<_  ( Y  .\/  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   ifcif 3892   class class class wbr 4393   ` cfv 5519   iota_crio 6153  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   lecple 14356   joincjn 15225   meetcmee 15226   Latclat 15326   Atomscatm 33217   HLchlt 33304   LHypclh 33937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-undef 6895  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator