Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26fALTN Unicode version

Theorem cdleme26fALTN 29240
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 6th and 7th lines on p. 115.  F,  N represent f(t), ft(s) respectively. If t  <_ t  \/ v, then ft(s)  <_ f(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f.f  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme26f.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26fALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, t, A    t, B, u    t, H    t,  .\/ , u    t, K   
t,  .<_ , u    t,  ./\ , u    u, N    t, P, u   
t, Q, u    t, S, u    t, U, u   
t, W, u
Allowed substitution hints:    F( u, t)    H( u)    I( u, t)    K( u)    N( t)    V( u, t)

Proof of Theorem cdleme26fALTN
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp21 993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp22 994 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp23l 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp23r 1082 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
6 simp12l 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
7 simp12r 1074 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
8 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 cdleme26.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdleme26.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 cdleme26.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
12 cdleme26.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdleme26.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdleme26f.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
15 cdleme26f.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
16 cdleme26f.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
17 cdleme26f.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme25cl 29235 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18syl322anc 1215 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
20 simp13l 1075 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  t  e.  A
)
21 simp31 996 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
22 fvex 5391 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
238, 22eqeltri 2323 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2423, 17riotasv 6238 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
2519, 20, 21, 24syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
26 simp23 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
27 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
28 simp32 997 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )
299, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme22f 29224 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  t  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V
) )
301, 2, 3, 26, 20, 27, 28, 29syl331anc 1212 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( F 
.\/  V ) )
3125, 30eqbrtrd 3940 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( S  =/=  t  /\  S  .<_  ( t  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( F 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   LHypclh 28862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866
  Copyright terms: Public domain W3C validator