Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26f2 Unicode version

Theorem cdleme26f2 30847
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme26fALTN 30844 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26f2.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26f2.f  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.n  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme26f2.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26f2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Distinct variable groups:    u, s, A    B, s, u    H, s    .\/ , s, u    K, s   
.<_ , s, u    ./\ , s, u   
u, O    P, s, u    Q, s, u    T, s, u    U, s, u    W, s, u
Allowed substitution hints:    E( u, s)    G( u, s)    H( u)    K( u)    O( s)    V( u, s)

Proof of Theorem cdleme26f2
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp23 992 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
3 simp31 993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )
4 simp12r 1071 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 simp12l 1070 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
63, 4, 53jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )
7 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp22 991 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
9 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
10 simp32 994 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) ) )
11 simp33 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26f2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26f2.f . . . 4  |-  G  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26f2.n . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  s )  ./\  W
) ) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme22f2 30829 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
211, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20syl323anc 1214 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( O  .\/  V ) )
22 simp23l 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A )
23 simp23r 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
24 cdleme26.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 cdleme26f2.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
2624, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 25cdleme25cl 30839 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
271, 7, 8, 22, 23, 5, 4, 26syl322anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B )
28 simp13l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
29 simp13r 1073 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
30 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3124, 30eqeltri 2474 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3231, 25riotasv 6556 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
3327, 28, 29, 3, 32syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
3433oveq1d 6055 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V ) )
3521, 34breqtrrd 4198 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  (
s  =/=  T  /\  s  .<_  ( T  .\/  V ) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  G  .<_  ( E  .\/  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  cdleme27a  30849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470
  Copyright terms: Public domain W3C validator