Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26eALTN Unicode version

Theorem cdleme26eALTN 30843
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26eALT.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26eALT.f  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.g  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26eALT.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26eALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    y, z, u, A    y, B, z, u    y, H, z   
y,  .\/ , z, u    y, K, z    y,  .<_ , z, u    y,  ./\ , z, u    u, N    u, O    y, P, z, u    y, Q, z, u    y, S, u    z, T, u   
y, U, z, u   
y, W, z, u
Allowed substitution hints:    S( z)    T( y)    E( y, z, u)    F( y, z, u)    G( y, z, u)    H( u)    I( y, z, u)    K( u)    N( y, z)    O( y, z)    V( y, z, u)

Proof of Theorem cdleme26eALTN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1068 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp11r 1069 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  W  e.  H )
3 simp231 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  e.  A )
4 simp12 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5 simp13 989 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
6 simp21 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7 simp221 1098 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  e.  A )
8 simp31 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) ) )
9 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
y  e.  A )
1093ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  y  e.  A )
11 simp322 1108 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  W )
12 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
z  e.  A )
13123ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  z  e.  A )
14 simp332 1111 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
1513, 14jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
1610, 11, 15jca31 521 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )
17 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
21 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
22 cdleme26eALT.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
23 cdleme26eALT.f . . . 4  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
24 cdleme26eALT.g . . . 4  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
25 cdleme26eALT.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
26 cdleme26eALT.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2717, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme22eALTN 30827 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 27syl333anc 1216 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
29 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp222 1099 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
31 simp223 1100 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
32 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
33 cdleme26eALT.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
3432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 33cdleme25cl 30839 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
3529, 4, 5, 7, 30, 6, 31, 34syl322anc 1212 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  e.  B )
36 simp323 1109 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3832, 37eqeltri 2474 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3938, 33riotasv 6556 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  y  e.  A  /\  ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
4035, 10, 11, 36, 39syl112anc 1188 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  =  N )
41 simp232 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
42 simp233 1103 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
43 cdleme26eALT.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 43cdleme25cl 30839 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
4529, 4, 5, 3, 41, 6, 42, 44syl322anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  e.  B )
46 simp333 1112 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4738, 43riotasv 6556 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4845, 13, 14, 46, 47syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  =  O )
4948oveq1d 6055 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V
) )
5028, 40, 493brtr4d 4202 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470
  Copyright terms: Public domain W3C validator