Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26eALTN Structured version   Unicode version

Theorem cdleme26eALTN 33360
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26eALT.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26eALT.f  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.g  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26eALT.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B  A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26eALT.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26eALTN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Distinct variable groups:    y, z, u, A    y, B, z, u    y, H, z   
y,  .\/ , z, u    y, K, z    y,  .<_ , z, u    y,  ./\ , z, u    u, N    u, O    y, P, z, u    y, Q, z, u    y, S, u    z, T, u   
y, U, z, u   
y, W, z, u
Allowed substitution hints:    S( z)    T( y)    E( y, z, u)    F( y, z, u)    G( y, z, u)    H( u)    I( y, z, u)    K( u)    N( y, z)    O( y, z)    V( y, z, u)

Proof of Theorem cdleme26eALTN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1108 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp11r 1109 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  W  e.  H )
3 simp231 1141 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  e.  A )
4 simp12 1028 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5 simp13 1029 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
6 simp21 1030 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7 simp221 1138 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  e.  A )
8 simp31 1033 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) ) )
9 simp21 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
y  e.  A )
1093ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  y  e.  A )
11 simp322 1148 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  W )
12 simp31 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
z  e.  A )
13123ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  z  e.  A )
14 simp332 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
1513, 14jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
1610, 11, 15jca31 532 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )
17 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
20 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
21 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
22 cdleme26eALT.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
23 cdleme26eALT.f . . . 4  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
24 cdleme26eALT.g . . . 4  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
25 cdleme26eALT.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
26 cdleme26eALT.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2717, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme22eALTN 33344 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V ) )
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 27syl333anc 1262 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
29 simp11 1027 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp222 1139 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
31 simp223 1140 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
32 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
33 cdleme26eALT.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B  A. y  e.  A  ( ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
3432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 33cdleme25cl 33356 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
3529, 4, 5, 7, 30, 6, 31, 34syl322anc 1258 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  e.  B )
36 simp323 1149 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3832, 37eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3938, 33riotasv 31963 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  y  e.  A  /\  ( -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
4035, 10, 11, 36, 39syl112anc 1234 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  =  N )
41 simp232 1142 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
42 simp233 1143 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
43 cdleme26eALT.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 43cdleme25cl 33356 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
4529, 4, 5, 3, 41, 6, 42, 44syl322anc 1258 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  e.  B )
46 simp333 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4738, 43riotasv 31963 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4845, 13, 14, 46, 47syl112anc 1234 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E  =  O )
4948oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O  .\/  V
) )
5028, 40, 493brtr4d 4424 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W  /\  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  I  .<_  ( E  .\/  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   joincjn 15895   meetcmee 15896   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-undef 7004  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator