Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26e Structured version   Unicode version

Theorem cdleme26e 34311
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 2-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme26.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme26.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme26.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme26.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme26.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme26e.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme26e.f  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme26e.i  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
cdleme26e.e  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme26e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Distinct variable groups:    z, u, A    z, B, u    z, H    z,  .\/ , u    z, K   
z,  .<_ , u    z,  ./\ , u    u, N    u, O    z, P, u    z, Q, u   
z, S, u    z, T, u    z, U, u   
z, W, u
Allowed substitution hints:    E( z, u)    F( z, u)    H( u)    I( z, u)    K( u)    N( z)    O( z)    V( z, u)

Proof of Theorem cdleme26e
StepHypRef Expression
1 simp11 1018 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 1019 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 1020 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21l 1105 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A
)
5 simp22l 1107 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A
)
64, 5jca 532 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )
7 simp23 1023 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
8 simp311 1135 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
9 simp32l 1113 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( T  .\/  V )  =  ( P 
.\/  Q ) )
108, 9jca 532 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
11 simp33 1026 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
12 cdleme26.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme26.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme26.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme26.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme26.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme26e.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme26e.f . . . 4  |-  F  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
19 cdleme26e.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  z )  ./\  W
) ) )
20 cdleme26e.o . . . 4  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdleme22e 34296 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V
) )
221, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 21syl133anc 1242 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( O 
.\/  V ) )
23 simp21r 1106 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
24 simp312 1136 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
25 cdleme26.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
26 cdleme26e.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  N ) )
2725, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 26cdleme25cl 34309 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  e.  B )
281, 2, 3, 4, 23, 8, 24, 27syl322anc 1247 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  e.  B
)
29 simp33l 1115 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  z  e.  A
)
30 simp33r 1116 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  W )
31 simp32r 1114 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3230, 31jca 532 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3425, 33eqeltri 2535 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3534, 26riotasv 32918 . . 3  |-  ( ( I  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  I  =  N )
3628, 29, 32, 35syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  =  N )
37 simp22r 1108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  -.  T  .<_  W )
38 simp313 1137 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
39 cdleme26e.e . . . . . 6  |-  E  =  ( iota_ u  e.  B  A. z  e.  A  ( ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  u  =  O ) )
4025, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 39cdleme25cl 34309 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  e.  B )
411, 2, 3, 5, 37, 8, 38, 40syl322anc 1247 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  e.  B
)
4234, 39riotasv 32918 . . . 4  |-  ( ( E  e.  B  /\  z  e.  A  /\  ( -.  z  .<_  W  /\  -.  z  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E  =  O )
4341, 29, 32, 42syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  E  =  O )
4443oveq1d 6207 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  ( E  .\/  V )  =  ( O 
.\/  V ) )
4522, 36, 443brtr4d 4422 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( T  .\/  V
)  =  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  z  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  I  .<_  ( E 
.\/  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3070   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   iota_crio 6152  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   lecple 14349   joincjn 15218   meetcmee 15219   Atomscatm 33216   HLchlt 33303   LHypclh 33936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-undef 6894  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940
This theorem is referenced by:  cdleme26ee  34312
  Copyright terms: Public domain W3C validator