Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25dN Structured version   Unicode version

Theorem cdleme25dN 35170
Description: Transform cdleme25c 35169. (Contributed by NM, 19-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme24.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme24.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme24.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme24.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme24.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme24.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme24.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme25dN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E! u  e.  B  E. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  u  =  N ) )
Distinct variable groups:    u, s, A    B, s, u    H, s    .\/ , s, u    K, s   
.<_ , s, u    ./\ , s, u    P, s, u    Q, s, u    R, s, u    W, s, u    u, N    U, s, u
Allowed substitution hints:    F( u, s)    H( u)    K( u)    N( s)

Proof of Theorem cdleme25dN
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdleme24.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdleme24.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 cdleme24.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 cdleme24.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdleme24.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdleme24.u . . 3  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
8 cdleme24.f . . 3  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
9 cdleme24.n . . 3  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25c 35169 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E! u  e.  B  A. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  u  =  N ) )
11 simp11l 1107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  K  e.  HL )
13 simp11r 1108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  W  e.  H )
15 simp12l 1109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  P  e.  A )
17 simp13l 1111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  Q  e.  A )
19 simpl2l 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  R  e.  A )
20 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
212, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1cdleme22gb 35108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  s  e.  A )
)  ->  N  e.  B )
2212, 14, 16, 18, 19, 20, 21syl222anc 1244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  s  e.  A )  ->  N  e.  B )
2322ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
s  e.  A  ->  N  e.  B )
)
2423a1dd 46 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
s  e.  A  -> 
( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  N  e.  B ) ) )
2524ralrimiv 2876 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  N  e.  B
) )
26 simp12 1027 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
27 simp13 1028 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
28 simp3l 1024 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  Q )
292, 3, 5, 6cdlemb2 34855 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
3011, 13, 26, 27, 28, 29syl221anc 1239 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
31 reusv2 4653 . . 3  |-  ( ( A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  N  e.  B )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( E! u  e.  B  E. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  u  =  N )  <->  E! u  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  N ) ) )
3225, 30, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( E! u  e.  B  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  u  =  N )  <->  E! u  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  u  =  N ) ) )
3310, 32mpbird 232 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  E! u  e.  B  E. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  u  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   joincjn 15431   meetcmee 15432   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LHypclh 34798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator