Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme24 Structured version   Unicode version

Theorem cdleme24 34315
Description: Quantified version of cdleme21k 34301. (Contributed by NM, 26-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme24.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme24.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme24.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme24.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme24.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme24.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme24.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme24.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    t, s, A    B, s, t    H, s, t    .\/ , s, t    K, s, t    .<_ , s, t    ./\ , s    P, s, t    Q, s, t    R, s, t    W, s, t
Allowed substitution hints:    U( t, s)    F( t, s)    G( t, s)    ./\ ( t)    N( t,
s)    O( t, s)

Proof of Theorem cdleme24
StepHypRef Expression
1 simp111 1117 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp112 1118 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp113 1119 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp12 1019 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  s  e.  A )
6 simp3ll 1059 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
75, 6jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
8 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
9 simp3rl 1061 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
108, 9jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
11 simp13l 1103 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
12 simp3lr 1060 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
13 simp3rr 1062 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
14 simp13r 1104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
1512, 13, 143jca 1168 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
16 cdleme24.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme24.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
18 cdleme24.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme24.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdleme24.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdleme24.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
22 cdleme24.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
23 cdleme24.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
24 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  s ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
)
25 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
)
26 cdleme24.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
27 cdleme24.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27cdleme21k 34301 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
291, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 15, 28syl332anc 1250 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
30293exp 1187 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( s  e.  A  /\  t  e.  A
)  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) ) )
3130ralrimivv 2907 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   lecple 14359   joincjn 15228   meetcmee 15229   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951
This theorem is referenced by:  cdleme25b  34317
  Copyright terms: Public domain W3C validator