Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme24 Structured version   Unicode version

Theorem cdleme24 33628
Description: Quantified version of cdleme21k 33614. (Contributed by NM, 26-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme24.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme24.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme24.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme24.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme24.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme24.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme24.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme24.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    t, s, A    B, s, t    H, s, t    .\/ , s, t    K, s, t    .<_ , s, t    ./\ , s    P, s, t    Q, s, t    R, s, t    W, s, t
Allowed substitution hints:    U( t, s)    F( t, s)    G( t, s)    ./\ ( t)    N( t,
s)    O( t, s)

Proof of Theorem cdleme24
StepHypRef Expression
1 simp111 1134 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp112 1135 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp113 1136 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp12 1036 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  s  e.  A )
6 simp3ll 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
75, 6jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
8 simp2r 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
9 simp3rl 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
108, 9jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
11 simp13l 1120 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
12 simp3lr 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
13 simp3rr 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
14 simp13r 1121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
1512, 13, 143jca 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
16 cdleme24.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme24.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
18 cdleme24.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme24.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdleme24.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdleme24.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
22 cdleme24.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
23 cdleme24.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
24 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  s ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
)
25 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
)
26 cdleme24.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
27 cdleme24.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27cdleme21k 33614 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
291, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 15, 28syl332anc 1295 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
30293exp 1204 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( s  e.  A  /\  t  e.  A
)  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) ) )
3130ralrimivv 2843 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   lecple 15149   joincjn 16133   meetcmee 16134   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-p0 16229  df-p1 16230  df-lat 16236  df-clat 16298  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262
This theorem is referenced by:  cdleme25b  33630
  Copyright terms: Public domain W3C validator