Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme24 Structured version   Unicode version

Theorem cdleme24 36475
Description: Quantified version of cdleme21k 36461. (Contributed by NM, 26-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme24.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme24.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme24.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme24.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme24.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme24.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme24.f  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme24.g  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme24.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Distinct variable groups:    t, s, A    B, s, t    H, s, t    .\/ , s, t    K, s, t    .<_ , s, t    ./\ , s    P, s, t    Q, s, t    R, s, t    W, s, t
Allowed substitution hints:    U( t, s)    F( t, s)    G( t, s)    ./\ ( t)    N( t,
s)    O( t, s)

Proof of Theorem cdleme24
StepHypRef Expression
1 simp111 1123 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp112 1124 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp113 1125 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp12 1025 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  s  e.  A )
6 simp3ll 1065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
75, 6jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
8 simp2r 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
9 simp3rl 1067 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
108, 9jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
11 simp13l 1109 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
12 simp3lr 1066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )
13 simp3rr 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
14 simp13r 1110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
1512, 13, 143jca 1174 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
16 cdleme24.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme24.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
18 cdleme24.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme24.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdleme24.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdleme24.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
22 cdleme24.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
23 cdleme24.g . . . . 5  |-  G  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
24 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  s ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
)
25 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ( R  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
)
26 cdleme24.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  s )  ./\  W
) ) )
27 cdleme24.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27cdleme21k 36461 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  s  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
291, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 15, 28syl332anc 1257 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  N  =  O )
30293exp 1193 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( s  e.  A  /\  t  e.  A
)  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) ) )
3130ralrimivv 2874 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  A. s  e.  A  A. t  e.  A  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  -.  s  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  N  =  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   joincjn 15772   meetcmee 15773   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   LHypclh 36105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109
This theorem is referenced by:  cdleme25b  36477
  Copyright terms: Public domain W3C validator