Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22f2 Structured version   Unicode version

Theorem cdleme22f2 35143
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme22f 35142 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s  <_ t  \/ v, then f(s)  <_ fs(t)  \/ v. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme22.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme22.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme22.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme22.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme22f2.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme22f2.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme22f2.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme22f2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) )

Proof of Theorem cdleme22f2
StepHypRef Expression
1 simp11 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 1022 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp2r 1023 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
41, 2, 33jca 1176 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
5 simp12 1027 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
6 simp31l 1119 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  e.  A )
7 simp33 1034 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
8 simp32l 1121 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  =/=  T )
98necomd 2738 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  =/=  S )
10 simp32r 1122 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  .<_  ( T  .\/  V ) )
11 simp11l 1107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hlcvl 34156 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  CvLat
)
14 simp12l 1109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  e.  A )
15 simp33l 1123 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
16 simp33r 1124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  V  .<_  W )
17 simp31r 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
18 nbrne2 4465 . . . . . . 7  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  S  .<_  W )  ->  V  =/=  S
)
1918necomd 2738 . . . . . 6  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  S  .<_  W )  ->  S  =/=  V
)
2016, 17, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  S  =/=  V )
21 cdleme22.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
22 cdleme22.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
23 cdleme22.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2421, 22, 23cvlatexch2 34134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  S  =/=  V
)  ->  ( S  .<_  ( T  .\/  V
)  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )
2513, 6, 14, 15, 20, 24syl131anc 1241 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .<_  ( T  .\/  V
)  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )
2610, 25mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( S  .\/  V ) )
27 cdleme22.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
28 cdleme22.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
29 cdleme22f2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
30 cdleme22f2.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
31 cdleme22f2.n . . . 4  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
) )
3221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme22f 35142 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  ( T  =/= 
S  /\  T  .<_  ( S  .\/  V ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V
) )
334, 5, 6, 7, 9, 26, 32syl132anc 1246 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  .<_  ( F  .\/  V ) )
34 simp31 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
35 simp133 1133 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  P  =/=  Q )
36 simp132 1132 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 simp131 1131 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
3821, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7ga 35044 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  N  e.  A )
394, 5, 34, 35, 36, 37, 38syl123anc 1245 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  e.  A )
4021, 22, 27, 23, 28, 29, 30cdleme3fa 35032 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
411, 2, 3, 34, 35, 37, 40syl132anc 1246 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  A )
4221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7 35045 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  N  .<_  W )
434, 5, 34, 35, 36, 37, 42syl123anc 1245 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  -.  N  .<_  W )
44 nbrne2 4465 . . . . 5  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  N  .<_  W )  ->  V  =/=  N
)
4544necomd 2738 . . . 4  |-  ( ( V  .<_  W  /\  -.  N  .<_  W )  ->  N  =/=  V
)
4616, 43, 45syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  N  =/=  V )
4721, 22, 23cvlatexch2 34134 . . 3  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( N  e.  A  /\  F  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  N  =/=  V
)  ->  ( N  .<_  ( F  .\/  V
)  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) ) )
4813, 39, 41, 15, 46, 47syl131anc 1241 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  ( N  .<_  ( F  .\/  V
)  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) ) )
4933, 48mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  =/=  T  /\  S  .<_  ( T  .\/  V
) )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) ) )  ->  F  .<_  ( N  .\/  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   lecple 14555   joincjn 15424   meetcmee 15425   Atomscatm 34060   CvLatclc 34062   HLchlt 34147   LHypclh 34780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784
This theorem is referenced by:  cdleme26f2ALTN  35160  cdleme26f2  35161
  Copyright terms: Public domain W3C validator