Theorem cdleme22eALTN 35542

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. F, N, O represent f(z), f_z(s), f_z(t) respectively. When t \/ v = p \/ q, f_z(s) <_ f_z(t) \/ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme22.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdleme22.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdleme22.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme22.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdleme22.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdleme22eALT.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme22eALT.f	|- F = ( ( y .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ y ) ./\ W ) ) )
cdleme22eALT.g	|- G = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme22eALT.n	|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) )
cdleme22eALT.o	|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme22eALTN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> N .<_ ( O .\/ V ) )

Proof of Theorem cdleme22eALTN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme22eALT.n	. . 3 |- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) )
2		simp11 1026	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> K e. HL )
3		hllat 34561	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> K e. Lat )
5		simp21l 1113	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> P e. A )
6		simp22l 1115	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> Q e. A )
7		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
8		cdleme22.j	. . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
9		cdleme22.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
10	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
11	2, 5, 6, 10	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
12		simp12 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> W e. H )
13		simp3ll 1067	. . . . . . 7 |- ( ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) -> y e. A )
14	13	3ad2ant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> y e. A )
15		cdleme22.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
16		cdleme22.m	. . . . . . 7 |- ./\ = ( meet ` K )
17		cdleme22.h	. . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
18		cdleme22eALT.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
19		cdleme22eALT.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( y .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ y ) ./\ W ) ) )
20	15, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 7	cdleme1b 35423	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ y e. A ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
21	2, 12, 5, 6, 14, 20	syl23anc 1235	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> F e. ( Base ` K ) )
22		simp31 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> S e. A )
23	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ S e. A /\ y e. A ) -> ( S .\/ y ) e. ( Base ` K ) )
24	2, 22, 14, 23	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( S .\/ y ) e. ( Base ` K ) )
25	7, 17	lhpbase 35195	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
26	12, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
27	7, 16	latmcl 15556	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( S .\/ y ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( S .\/ y ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
28	4, 24, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( S .\/ y ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
29	7, 8	latjcl 15555	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ F e. ( Base ` K ) /\ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
30	4, 21, 28, 29	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
31	7, 15, 16	latmle1 15580	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
32	4, 11, 30, 31	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
33	1, 32	syl5eqbr 4486	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> N .<_ ( P .\/ Q ) )
34		simp21 1029	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
35		simp13 1028	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> T e. A )
36		simp321 1146	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> V e. A )
37		simp322 1147	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> V .<_ W )
38	36, 37	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( V e. A /\ V .<_ W ) )
39		simp23 1031	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> P =/= Q )
40		simp323 1148	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) )
41	15, 8, 16, 9, 17, 18	cdleme22a 35537	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ T e. A ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W ) /\ P =/= Q /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) ) -> V = U )
42	2, 12, 34, 6, 35, 38, 39, 40, 41	syl233anc 1257	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> V = U )
43	42	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( O .\/ V ) = ( O .\/ U ) )
44		cdleme22eALT.o	. . . . 5 |- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
45	44	oveq1i 6305	. . . 4 |- ( O .\/ U ) = ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U )
46		simp21r 1114	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> -. P .<_ W )
47	15, 8, 16, 9, 17, 18	cdleme0a 35408	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A )
48	2, 12, 5, 46, 6, 39, 47	syl222anc 1244	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> U e. A )
49		simp3rl 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) -> z e. A )
50	49	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> z e. A )
51		cdleme22eALT.g	. . . . . . . 8 |- G = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
52	15, 8, 16, 9, 17, 18, 51, 7	cdleme1b 35423	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ z e. A ) ) -> G e. ( Base ` K ) )
53	2, 12, 5, 6, 50, 52	syl23anc 1235	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> G e. ( Base ` K ) )
54	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ T e. A /\ z e. A ) -> ( T .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
55	2, 35, 50, 54	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
56	7, 16	latmcl 15556	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ ( T .\/ z ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( T .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
57	4, 55, 26, 56	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
58	7, 8	latjcl 15555	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ G e. ( Base ` K ) /\ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
59	4, 53, 57, 58	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
60	15, 8, 16, 9, 17, 18	cdlemeulpq 35417	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) ) -> U .<_ ( P .\/ Q ) )
61	2, 12, 5, 6, 60	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> U .<_ ( P .\/ Q ) )
62	7, 15, 8, 16, 9	atmod2i1 35058	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( U e. A /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) /\ U .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
63	2, 48, 11, 59, 61, 62	syl131anc 1241	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
64	45, 63	syl5req 2521	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) = ( O .\/ U ) )
65	42	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ V ) = ( T .\/ U ) )
66	40, 65	eqtr3d 2510	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( T .\/ U ) )
67	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ T e. A /\ U e. A ) -> ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
68	2, 35, 48, 67	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
69	7, 9	atbase 34487	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> z e. ( Base ` K ) )
70	50, 69	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
71	7, 15, 8	latlej1 15564	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( T .\/ U ) .<_ ( ( T .\/ U ) .\/ z ) )
72	4, 68, 70, 71	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ U ) .<_ ( ( T .\/ U ) .\/ z ) )
73	8, 9	hlatj32 34569	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ ( T e. A /\ U e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ z ) = ( ( T .\/ z ) .\/ U ) )
74	2, 35, 48, 50, 73	syl13anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ z ) = ( ( T .\/ z ) .\/ U ) )
75	7, 9	atbase 34487	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. A -> U e. ( Base ` K ) )
76	48, 75	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> U e. ( Base ` K ) )
77	7, 8	latj32 15601	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) /\ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
78	4, 70, 76, 57, 77	syl13anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( z .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
79	7, 8	latj32 15601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ ( G e. ( Base ` K ) /\ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) = ( ( G .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
80	4, 53, 57, 76, 79	syl13anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) = ( ( G .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
81	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ z e. A ) -> ( P .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
82	2, 5, 50, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
83	15, 8, 9	hlatlej1 34572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ z e. A ) -> P .<_ ( P .\/ z ) )
84	2, 5, 50, 83	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> P .<_ ( P .\/ z ) )
85	7, 15, 8, 16, 9	atmod3i1 35061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( P .\/ z ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ P .<_ ( P .\/ z ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ z ) ./\ ( P .\/ W ) ) )
86	2, 5, 82, 26, 84, 85	syl131anc 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ z ) ./\ ( P .\/ W ) ) )
87		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
88	15, 8, 87, 9, 17	lhpjat2 35218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
89	2, 12, 34, 88	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
90	89	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ z ) ./\ ( P .\/ W ) ) = ( ( P .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) )
91		hlol 34559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. HL -> K e. OL )
92	2, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> K e. OL )
93	7, 16, 87	olm11 34425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. OL /\ ( P .\/ z ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ z ) )
94	92, 82, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ z ) )
95	86, 90, 94	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( P .\/ z ) )
96	95	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ Q ) = ( ( P .\/ z ) .\/ Q ) )
97	18	oveq2i 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q .\/ U ) = ( Q .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
98	15, 8, 9	hlatlej2 34573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) )
99	2, 5, 6, 98	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> Q .<_ ( P .\/ Q ) )
100	7, 15, 8, 16, 9	atmod3i1 35061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ Q .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Q .\/ W ) ) )
101	2, 6, 11, 26, 99, 100	syl131anc 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Q .\/ W ) ) )
102	97, 101	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q .\/ U ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Q .\/ W ) ) )
103		simp22 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
104	15, 8, 87, 9, 17	lhpjat2 35218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( Q .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
105	2, 12, 103, 104	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
106	105	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( Q .\/ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( 1. ` K ) ) )
107	7, 16, 87	olm11 34425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. OL /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ Q ) )
108	92, 11, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ Q ) )
109	102, 106, 108	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q .\/ U ) = ( P .\/ Q ) )
110	109	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ U ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
111	7, 9	atbase 34487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
112	5, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
113	7, 16	latmcl 15556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ z ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
114	4, 82, 26, 113	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
115	7, 9	atbase 34487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
116	6, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
117	7, 8	latj32 15601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ Q ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
118	4, 112, 114, 116, 117	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ Q ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
119	110, 118	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ U ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ Q ) )
120	8, 9	hlatj32 34569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) = ( ( P .\/ z ) .\/ Q ) )
121	2, 5, 6, 50, 120	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) = ( ( P .\/ z ) .\/ Q ) )
122	96, 119, 121	3eqtr4rd 2519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) = ( ( Q .\/ U ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
123	7, 8	latj32 15601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( Q .\/ U ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
124	4, 116, 76, 114, 123	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ U ) .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
125	122, 124	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) = ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
126	125	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
127	7, 8	latjcl 15555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
128	4, 11, 70, 127	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) e. ( Base ` K ) )
129	7, 15, 8	latlej2 15565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> z .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) )
130	4, 11, 70, 129	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> z .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) )
131	7, 15, 8, 16, 9	atmod1i1 35054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( z e. A /\ U e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) e. ( Base ` K ) ) /\ z .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) -> ( z .\/ ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) )
132	2, 50, 76, 128, 130, 131	syl131anc 1241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z .\/ ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) )
133	51	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G .\/ U ) = ( ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U )
134	7, 8, 9	hlatjcl 34564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ z e. A /\ U e. A ) -> ( z .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
135	2, 50, 48, 134	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
136	7, 8	latjcl 15555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
137	4, 116, 114, 136	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) )
138	15, 8, 9	hlatlej2 34573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ z e. A /\ U e. A ) -> U .<_ ( z .\/ U ) )
139	2, 50, 48, 138	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> U .<_ ( z .\/ U ) )
140	7, 15, 8, 16, 9	atmod2i1 35058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ ( U e. A /\ ( z .\/ U ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) ) /\ U .<_ ( z .\/ U ) ) -> ( ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
141	2, 48, 135, 137, 139, 140	syl131anc 1241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) ) .\/ U ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
142	133, 141	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( G .\/ U ) = ( ( z .\/ U ) ./\ ( ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) )
143	126, 132, 142	3eqtr4rd 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( G .\/ U ) = ( z .\/ ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) ) )
144	7, 15, 8	latlej1 15564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ Q ) .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) )
145	4, 11, 70, 144	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) )
146	7, 15, 4, 76, 11, 128, 61, 145	lattrd 15562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> U .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) )
147	7, 15, 16	latleeqm1 15583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Lat /\ U e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) e. ( Base ` K ) ) -> ( U .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) <-> ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) = U ) )
148	4, 76, 128, 147	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( U .<_ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) <-> ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) = U ) )
149	146, 148	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) = U )
150	149	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z .\/ ( U ./\ ( ( P .\/ Q ) .\/ z ) ) ) = ( z .\/ U ) )
151	143, 150	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( G .\/ U ) = ( z .\/ U ) )
152	151	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( G .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( z .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
153	80, 152	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) = ( ( z .\/ U ) .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
154	15, 8, 9	hlatlej2 34573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ T e. A /\ z e. A ) -> z .<_ ( T .\/ z ) )
155	2, 35, 50, 154	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> z .<_ ( T .\/ z ) )
156	7, 15, 8, 16, 9	atmod3i1 35061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( z e. A /\ ( T .\/ z ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ z .<_ ( T .\/ z ) ) -> ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( T .\/ z ) ./\ ( z .\/ W ) ) )
157	2, 50, 55, 26, 155, 156	syl131anc 1241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) = ( ( T .\/ z ) ./\ ( z .\/ W ) ) )
158		simp33r 1124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z e. A /\ -. z .<_ W ) )
159	15, 8, 87, 9, 17	lhpjat2 35218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) -> ( z .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
160	2, 12, 158, 159	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( z .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
161	160	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ z ) ./\ ( z .\/ W ) ) = ( ( T .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) )
162	7, 16, 87	olm11 34425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ ( T .\/ z ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( T .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( T .\/ z ) )
163	92, 55, 162	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ z ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( T .\/ z ) )
164	157, 161, 163	3eqtrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ z ) = ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
165	164	oveq1d 6310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ z ) .\/ U ) = ( ( z .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
166	78, 153, 165	3eqtr4rd 2519	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ z ) .\/ U ) = ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
167	74, 166	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ z ) = ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
168	72, 167	breqtrd 4477	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( T .\/ U ) .<_ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
169	66, 168	eqbrtrd 4473	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) .<_ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) )
170	7, 8	latjcl 15555	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) -> ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
171	4, 59, 76, 170	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
172	7, 15, 16	latleeqm1 15583	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .<_ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
173	4, 11, 171, 172	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .<_ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) = ( P .\/ Q ) ) )
174	169, 173	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) .\/ U ) ) = ( P .\/ Q ) )
175	43, 64, 174	3eqtr2rd 2515	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( O .\/ V ) )
176	33, 175	breqtrd 4477	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> N .<_ ( O .\/ V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   joincjn 15448   meetcmee 15449   1.cp1 15542   Latclat 15549   OLcol 34372   Atomscatm 34461   HLchlt 34548   LHypclh 35181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185

This theorem is referenced by:  cdleme26eALTN  35558