Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22eALTN Structured version   Unicode version

Theorem cdleme22eALTN 34347
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115.  F,  N,  O represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t  \/ v = p  \/ q, fz(s)  <_ fz(t)  \/ v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme22.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme22.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme22.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme22.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme22eALT.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme22eALT.f  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme22eALT.g  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
cdleme22eALT.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
cdleme22eALT.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme22eALTN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V ) )

Proof of Theorem cdleme22eALTN
StepHypRef Expression
1 cdleme22eALT.n . . 3  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) ) )
2 simp11 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 33366 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp21l 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp22l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdleme22.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme22.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
112, 5, 6, 10syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
12 simp12 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  W  e.  H )
13 simp3ll 1059 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  y  e.  A
)
14133ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  y  e.  A )
15 cdleme22.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 cdleme22.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
17 cdleme22.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 cdleme22eALT.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
19 cdleme22eALT.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( y  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  y )  ./\  W
) ) )
2015, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 7cdleme1b 34228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
212, 12, 5, 6, 14, 20syl23anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K )
)
22 simp31 1024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  S  e.  A )
237, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( S  .\/  y
)  e.  ( Base `  K ) )
242, 22, 14, 23syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( S  .\/  y )  e.  (
Base `  K )
)
257, 17lhpbase 34000 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2612, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
277, 16latmcl 15344 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  y )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
284, 24, 26, 27syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( S  .\/  y )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
297, 8latjcl 15343 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  (
( S  .\/  y
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  ( ( S 
.\/  y )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
304, 21, 28, 29syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
317, 15, 16latmle1 15368 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y )  ./\  W
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y ) 
./\  W ) ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
324, 11, 30, 31syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( S  .\/  y ) 
./\  W ) ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
331, 32syl5eqbr 4436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( P  .\/  Q ) )
34 simp21 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
35 simp13 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  T  e.  A )
36 simp321 1138 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  V  e.  A )
37 simp322 1139 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  V  .<_  W )
3836, 37jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )
39 simp23 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
40 simp323 1140 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )
4115, 8, 16, 9, 17, 18cdleme22a 34342 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( ( V  e.  A  /\  V  .<_  W )  /\  P  =/= 
Q  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  V  =  U )
422, 12, 34, 6, 35, 38, 39, 40, 41syl233anc 1248 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  V  =  U )
4342oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( O  .\/  V )  =  ( O  .\/  U ) )
44 cdleme22eALT.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )
4544oveq1i 6213 . . . 4  |-  ( O 
.\/  U )  =  ( ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) )  .\/  U )
46 simp21r 1106 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
4715, 8, 16, 9, 17, 18cdleme0a 34213 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
482, 12, 5, 46, 6, 39, 47syl222anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  U  e.  A )
49 simp3rl 1061 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) )  ->  z  e.  A
)
50493ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  z  e.  A )
51 cdleme22eALT.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( ( z  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )
5215, 8, 16, 9, 17, 18, 51, 7cdleme1b 34228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  z  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
532, 12, 5, 6, 50, 52syl23anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  G  e.  ( Base `  K )
)
547, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( T  .\/  z
)  e.  ( Base `  K ) )
552, 35, 50, 54syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  z )  e.  (
Base `  K )
)
567, 16latmcl 15344 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  z )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  z )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
574, 55, 26, 56syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  z )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
587, 8latjcl 15343 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  G  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  z
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
594, 53, 57, 58syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
6015, 8, 16, 9, 17, 18cdlemeulpq 34222 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  ->  U  .<_  ( P  .\/  Q ) )
612, 12, 5, 6, 60syl22anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  U  .<_  ( P  .\/  Q ) )
627, 15, 8, 16, 9atmod2i1 33863 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  U  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )  .\/  U )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( ( G 
.\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
632, 48, 11, 59, 61, 62syl131anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) ) )  .\/  U )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( ( G 
.\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
6445, 63syl5req 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
) )  =  ( O  .\/  U ) )
6542oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  V )  =  ( T  .\/  U ) )
6640, 65eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( T  .\/  U ) )
677, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
682, 35, 48, 67syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
697, 9atbase 33292 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
7050, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
717, 15, 8latlej1 15352 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( T  .\/  U )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  z ) )
724, 68, 70, 71syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  z ) )
738, 9hlatj32 33374 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  z )  =  ( ( T 
.\/  z )  .\/  U ) )
742, 35, 48, 50, 73syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  z )  =  ( ( T  .\/  z
)  .\/  U )
)
757, 9atbase 33292 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  A  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
7648, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
777, 8latj32 15389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  (
Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
)  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( z 
.\/  U )  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( z  .\/  (
( T  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  U )
)
784, 70, 76, 57, 77syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( (
z  .\/  U )  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( z  .\/  (
( T  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  U )
)
797, 8latj32 15389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
)  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
)  =  ( ( G  .\/  U ) 
.\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) ) )
804, 53, 57, 76, 79syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  =  ( ( G  .\/  U ) 
.\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) ) )
817, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( P  .\/  z
)  e.  ( Base `  K ) )
822, 5, 50, 81syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  z )  e.  (
Base `  K )
)
8315, 8, 9hlatlej1 33377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  z ) )
842, 5, 50, 83syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  z ) )
857, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( P  .\/  z
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  P  .<_  ( P  .\/  z
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  z
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
862, 5, 82, 26, 84, 85syl131anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( P  .\/  z
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
87 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8815, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
892, 12, 34, 88syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
9089oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  z )  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  z ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
91 hlol 33364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
922, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  K  e.  OL )
937, 16, 87olm11 33230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  z
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  z
) )
9492, 82, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  z )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  z ) )
9586, 90, 943eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( P  .\/  z ) )
9695oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  Q
)  =  ( ( P  .\/  z ) 
.\/  Q ) )
9718oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q 
.\/  U )  =  ( Q  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)
9815, 8, 9hlatlej2 33378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
992, 5, 6, 98syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
1007, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( Q  .\/  W ) ) )
1012, 6, 11, 26, 99, 100syl131anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( Q  .\/  W ) ) )
10297, 101syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  U )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( Q  .\/  W ) ) )
103 simp22 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
10415, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Q  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
1052, 12, 103, 104syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
106105oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( Q  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
1077, 16, 87olm11 33230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
10892, 11, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  Q ) )
109102, 106, 1083eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q ) )
110109oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  U )  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W ) ) )
1117, 9atbase 33292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1125, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
1137, 16latmcl 15344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  z )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  z )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
1144, 82, 26, 113syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  z )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
1157, 9atbase 33292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
1166, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
1177, 8latj32 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
)  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  Q
)  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) ) )
1184, 112, 114, 116, 117syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  Q
)  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) ) )
119110, 118eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  U )  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( P  .\/  (
( P  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  Q )
)
1208, 9hlatj32 33374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )  =  ( ( P 
.\/  z )  .\/  Q ) )
1212, 5, 6, 50, 120syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  =  ( ( P  .\/  z
)  .\/  Q )
)
12296, 119, 1213eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  =  ( ( Q  .\/  U
)  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W ) ) )
1237, 8latj32 15389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  z
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  U )  .\/  ( ( P  .\/  z ) 
./\  W ) )  =  ( ( Q 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) )
1244, 116, 76, 114, 123syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  U )  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( Q  .\/  (
( P  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  U )
)
125122, 124eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  =  ( ( Q  .\/  (
( P  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  U )
)
126125oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( (
z  .\/  U )  ./\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) )  =  ( ( z  .\/  U ) 
./\  ( ( Q 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
1277, 8latjcl 15343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  e.  (
Base `  K )
)
1284, 11, 70, 127syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  e.  (
Base `  K )
)
1297, 15, 8latlej2 15353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  ->  z  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  z )
)
1304, 11, 70, 129syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  z  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  z )
)
1317, 15, 8, 16, 9atmod1i1 33859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( z  e.  A  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) )  ->  ( z  .\/  ( U  ./\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )
) )  =  ( ( z  .\/  U
)  ./\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) ) )
1322, 50, 76, 128, 130, 131syl131anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  .\/  ( U  ./\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )
) )  =  ( ( z  .\/  U
)  ./\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) ) )
13351oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
.\/  U )  =  ( ( ( z 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z ) 
./\  W ) ) )  .\/  U )
1347, 8, 9hlatjcl 33369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( z  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
1352, 50, 48, 134syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
1367, 8latjcl 15343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  z
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
1374, 116, 114, 136syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
13815, 8, 9hlatlej2 33378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  U  .<_  ( z  .\/  U ) )
1392, 50, 48, 138syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  U  .<_  ( z  .\/  U ) )
1407, 15, 8, 16, 9atmod2i1 33863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U  e.  A  /\  ( z  .\/  U
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  U  .<_  ( z  .\/  U ) )  ->  ( (
( z  .\/  U
)  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )  .\/  U )  =  ( ( z  .\/  U ) 
./\  ( ( Q 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
1412, 48, 135, 137, 139, 140syl131anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( (
( z  .\/  U
)  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  z )  ./\  W
) ) )  .\/  U )  =  ( ( z  .\/  U ) 
./\  ( ( Q 
.\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
142133, 141syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( G  .\/  U )  =  ( ( z  .\/  U
)  ./\  ( ( Q  .\/  ( ( P 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
) ) )
143126, 132, 1423eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( G  .\/  U )  =  ( z  .\/  ( U 
./\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  z ) ) ) )
1447, 15, 8latlej1 15352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  z ) )
1454, 11, 70, 144syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  z ) )
1467, 15, 4, 76, 11, 128, 61, 145lattrd 15350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  U  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  z )
)
1477, 15, 16latleeqm1 15371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( U  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  z )  <->  ( U  ./\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) )  =  U ) )
1484, 76, 128, 147syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( U  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z )  <-> 
( U  ./\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )
)  =  U ) )
149146, 148mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( U  ./\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  z ) )  =  U )
150149oveq2d 6219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  .\/  ( U  ./\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  z )
) )  =  ( z  .\/  U ) )
151143, 150eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( G  .\/  U )  =  ( z  .\/  U ) )
152151oveq1d 6218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( G  .\/  U )  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( z  .\/  U
)  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W ) ) )
15380, 152eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  =  ( ( z  .\/  U ) 
.\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) ) )
15415, 8, 9hlatlej2 33378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  z  .<_  ( T  .\/  z ) )
1552, 35, 50, 154syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  z  .<_  ( T  .\/  z ) )
1567, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( z  e.  A  /\  ( T  .\/  z
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  z  .<_  ( T  .\/  z
) )  ->  (
z  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W ) )  =  ( ( T  .\/  z
)  ./\  ( z  .\/  W ) ) )
1572, 50, 55, 26, 155, 156syl131anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  =  ( ( T  .\/  z
)  ./\  ( z  .\/  W ) ) )
158 simp33r 1116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )
15915, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) )  -> 
( z  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
1602, 12, 158, 159syl21anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( z  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
161160oveq2d 6219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  z )  ./\  ( z  .\/  W
) )  =  ( ( T  .\/  z
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
1627, 16, 87olm11 33230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( T  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( T  .\/  z
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( T  .\/  z
) )
16392, 55, 162syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  z )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( T 
.\/  z ) )
164157, 161, 1633eqtrrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) )
165164oveq1d 6218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  z )  .\/  U )  =  ( ( z  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) 
.\/  U ) )
16678, 153, 1653eqtr4rd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  z )  .\/  U )  =  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) 
.\/  U ) )
16774, 166eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  z )  =  ( ( G  .\/  (
( T  .\/  z
)  ./\  W )
)  .\/  U )
)
16872, 167breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  .<_  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) 
.\/  U ) )
16966, 168eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) ) 
.\/  U ) )
1707, 8latjcl 15343 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G  .\/  ( ( T  .\/  z ) 
./\  W ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  U  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
1714, 59, 76, 170syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
1727, 15, 16latleeqm1 15371 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( G  .\/  ( ( T 
.\/  z )  ./\  W ) )  .\/  U
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
1734, 11, 171, 172syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
174169, 173mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( ( G  .\/  ( ( T  .\/  z )  ./\  W
) )  .\/  U
) )  =  ( P  .\/  Q ) )
17543, 64, 1743eqtr2rd 2502 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( O  .\/  V ) )
17633, 175breqtrd 4427 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  T  e.  A )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( S  e.  A  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W  /\  ( T  .\/  V )  =  ( P  .\/  Q
) )  /\  (
( y  e.  A  /\  -.  y  .<_  W )  /\  ( z  e.  A  /\  -.  z  .<_  W ) ) ) )  ->  N  .<_  ( O  .\/  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   meetcmee 15237   1.cp1 15330   Latclat 15337   OLcol 33177   Atomscatm 33266   HLchlt 33353   LHypclh 33986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990
This theorem is referenced by:  cdleme26eALTN  34363
  Copyright terms: Public domain W3C validator