cdleme22b - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cdleme22b 35155

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t $\/$ v =/= p $\/$ q and s

p $\/$ q implies

p $\/$ q. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cdleme22.l
cdleme22.j	$.\/$
cdleme22.m	$./\$
cdleme22.a
cdleme22.h

**Assertion**
Ref	Expression
cdleme22b	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

**Proof of Theorem cdleme22b**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1020	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
2		simp1r1 1092	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
3		simp1r2 1093	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
4		simp1r3 1094	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
5		cdleme22.j	. . . . . . 7 $.\/$
6		cdleme22.a	. . . . . . 7
7		eqid 2467	. . . . . . 7
8	5, 6, 7	llni2 34326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1231	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
10	6, 7	llnneat 34328	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $.\/$
11	1, 9, 10	syl2anc 661	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
12		eqid 2467	. . . . . 6
13	12, 7	llnn0 34330	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $.\/$
14	1, 9, 13	syl2anc 661	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
15	11, 14	jca 532	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
16		df-ne 2664	. . . . 5 $.\/$ $.\/$
17	16	anbi2i 694	. . . 4 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
18		pm4.56 495	. . . 4 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
19	17, 18	bitri 249	. . 3 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
20	15, 19	sylib 196	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
21		simp3r2 1105	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
22		simp3l 1024	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
23		cdleme22.l	. . . . . . . . 9
24	23, 5, 6	hlatlej1 34189	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
25	1, 3, 22, 24	syl3anc 1228	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26		hllat 34178	. . . . . . . . 9
27	1, 26	syl 16	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
28		eqid 2467	. . . . . . . . . 10
29	28, 6	atbase 34104	. . . . . . . . 9
30	2, 29	syl 16	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
31	28, 6	atbase 34104	. . . . . . . . 9
32	3, 31	syl 16	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
33	28, 5, 6	hlatjcl 34181	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
34	1, 3, 22, 33	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
35	28, 23, 5	latjle12 15549	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
36	27, 30, 32, 34, 35	syl13anc 1230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
37	21, 25, 36	mpbi2and 919	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
38	37	adantr 465	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
39		simp3r3 1106	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
40	39	adantr 465	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41		simpr 461	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
42		simp21 1029	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
43		simp22 1030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
44	28, 5, 6	hlatjcl 34181	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
45	1, 42, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
46	28, 23, 5	latjle12 15549	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
47	27, 30, 32, 45, 46	syl13anc 1230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
48	47	adantr 465	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
49	40, 41, 48	mpbi2and 919	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
50	28, 5, 6	hlatjcl 34181	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
51	1, 2, 3, 50	syl3anc 1228	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
52		cdleme22.m	. . . . . . . 8 $./\$
53	28, 23, 52	latlem12 15565	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
54	27, 51, 34, 45, 53	syl13anc 1230	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
55	54	adantr 465	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
56	38, 49, 55	mpbi2and 919	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
57	56	ex 434	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
58		hlop 34177	. . . . . . . 8
59	1, 58	syl 16	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
60	59	adantr 465	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
61	51	adantr 465	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
62		simprl 755	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
63		simprr 756	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
64	28, 23, 12, 6	leat3 34110	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
65	60, 61, 62, 63, 64	syl31anc 1231	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
66	65	exp32 605	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
67		breq2 4451	. . . . . . . . 9 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
68	67	biimpa 484	. . . . . . . 8 $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
69	28, 23, 12	ople0 34002	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	59, 51, 69	syl2anc 661	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71	68, 70	syl5ib 219	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
72	71	imp 429	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
73	72	olcd 393	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
74	73	exp32 605	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
75		simp3r1 1104	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	5, 52, 12, 6	2atmat0 34340	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
77	1, 3, 22, 42, 43, 75, 76	syl33anc 1243	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
78	66, 74, 77	mpjaod 381	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
79	57, 78	syld 44	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $\/$ $.\/$
80	20, 79	mtod 177	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 184 $\/$ wo 368 $/\$ wa 369 $/\$ w3a 973

wceq 1379

wcel 1767

wne 2662 class class class wbr 4447

cfv 5588 (class class class)co 6284

cbs 14490

cple 14562

cjn 15431

cmee 15432

cp0 15524

clat 15532

cops 33987

catm 34078

chlt 34165

clln 34305

clh 34798

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1601 ax-4 1612 ax-5 1680 ax-6 1719 ax-7 1739 ax-8 1769 ax-9 1771 ax-10 1786 ax-11 1791 ax-12 1803 ax-13 1968 ax-ext 2445 ax-rep 4558 ax-sep 4568 ax-nul 4576 ax-pow 4625 ax-pr 4686 ax-un 6576

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 975 df-tru 1382 df-ex 1597 df-nf 1600 df-sb 1712 df-eu 2279 df-mo 2280 df-clab 2453 df-cleq 2459 df-clel 2462 df-nfc 2617 df-ne 2664 df-ral 2819 df-rex 2820 df-reu 2821 df-rab 2823 df-v 3115 df-sbc 3332 df-csb 3436 df-dif 3479 df-un 3481 df-in 3483 df-ss 3490 df-nul 3786 df-if 3940 df-pw 4012 df-sn 4028 df-pr 4030 df-op 4034 df-uni 4246 df-iun 4327 df-br 4448 df-opab 4506 df-mpt 4507 df-id 4795 df-xp 5005 df-rel 5006 df-cnv 5007 df-co 5008 df-dm 5009 df-rn 5010 df-res 5011 df-ima 5012 df-iota 5551 df-fun 5590 df-fn 5591 df-f 5592 df-f1 5593 df-fo 5594 df-f1o 5595 df-fv 5596 df-riota 6245 df-ov 6287 df-oprab 6288 df-poset 15433 df-plt 15445 df-lub 15461 df-glb 15462 df-join 15463 df-meet 15464 df-p0 15526 df-p1 15527 df-lat 15533 df-clat 15595 df-oposet 33991 df-ol 33993 df-oml 33994 df-covers 34081 df-ats 34082 df-atl 34113 df-cvlat 34137 df-hlat 34166 df-llines 34312

This theorem is referenced by: cdleme22cN 35156 cdleme27a 35181

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