Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20m Structured version   Unicode version

Theorem cdleme20m 35137
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, penultimate line. 
D,  F,  N,  Y,  G,  O represent s2, f(s), fs(r), t2, f(t), ft(r) respectively. We prove that if  -. r  <_ s  \/ t and  -. u  <_ s  \/ t, then fs(r) = ft(r). (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme19.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme19.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme19.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme19.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme19.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme19.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme19.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme19.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
cdleme19.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.v  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
cdleme20.n  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
cdleme20.o  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme20m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  N  =  O )

Proof of Theorem cdleme20m
StepHypRef Expression
1 simp11l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 34178 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp11r 1108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  W  e.  H
)
5 simp12l 1109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  e.  A
)
6 simp13l 1111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
7 simp22l 1115 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  e.  A
)
8 cdleme19.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdleme19.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdleme19.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdleme19.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdleme19.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdleme19.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
14 cdleme19.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
15 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme1b 35040 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
171, 4, 5, 6, 7, 16syl23anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  F  e.  (
Base `  K )
)
18 simp21l 1113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  e.  A
)
19 cdleme19.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
208, 9, 10, 11, 12, 19, 15cdlemedb 35111 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  D  e.  ( Base `  K ) )
211, 4, 18, 7, 20syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  D  e.  (
Base `  K )
)
2215, 9latjcl 15538 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  D  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  D )  e.  ( Base `  K
) )
233, 17, 21, 22syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( F  .\/  D )  e.  ( Base `  K ) )
24 simp23l 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  T  e.  A
)
25 cdleme19.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
268, 9, 10, 11, 12, 13, 25, 15cdleme1b 35040 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  G  e.  ( Base `  K ) )
271, 4, 5, 6, 24, 26syl23anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  G  e.  (
Base `  K )
)
28 cdleme19.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
298, 9, 10, 11, 12, 28, 15cdlemedb 35111 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
301, 4, 18, 24, 29syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
3115, 9latjcl 15538 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  G  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
323, 27, 30, 31syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( G  .\/  Y )  e.  ( Base `  K ) )
3315, 10latmcom 15562 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  .\/  D )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G  .\/  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( F  .\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  =  ( ( G  .\/  Y ) 
./\  ( F  .\/  D ) ) )
343, 23, 32, 33syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  =  ( ( G  .\/  Y ) 
./\  ( F  .\/  D ) ) )
35 cdleme20.v . . . 4  |-  V  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
368, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 25, 19, 28, 35cdleme20l 35136 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( F 
.\/  D )  ./\  ( G  .\/  Y ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  D ) ) )
37 simp11 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
38 simp12 1027 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
39 simp13 1028 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
40 simp21 1029 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
41 simp23 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
42 simp22 1030 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
43 simp31l 1119 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
44 simp31r 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  S  =/=  T
)
4544necomd 2738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  T  =/=  S
)
4643, 45jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  T  =/=  S ) )
47 simp322 1147 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
48 simp321 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
49 simp323 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
5047, 48, 493jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
51 simp33l 1123 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( S  .\/  T ) )
529, 11hlatjcom 34182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  =  ( T 
.\/  S ) )
531, 7, 24, 52syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( S  .\/  T )  =  ( T 
.\/  S ) )
5453breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( S  .\/  T )  <-> 
R  .<_  ( T  .\/  S ) ) )
5551, 54mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( T  .\/  S ) )
56 simp33r 1124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) )
5753breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( U  .<_  ( S  .\/  T )  <-> 
U  .<_  ( T  .\/  S ) ) )
5856, 57mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  -.  U  .<_  ( T  .\/  S ) )
5955, 58jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( T  .\/  S
)  /\  -.  U  .<_  ( T  .\/  S
) ) )
60 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ( T  .\/  S ) 
./\  W )  =  ( ( T  .\/  S )  ./\  W )
618, 9, 10, 11, 12, 13, 25, 14, 28, 19, 60cdleme20l 35136 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  T  =/=  S )  /\  ( -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( T  .\/  S )  /\  -.  U  .<_  ( T  .\/  S ) ) ) )  ->  ( ( G 
.\/  Y )  ./\  ( F  .\/  D ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( G  .\/  Y ) ) )
6237, 38, 39, 40, 41, 42, 46, 50, 59, 61syl333anc 1260 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( G 
.\/  Y )  ./\  ( F  .\/  D ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( G  .\/  Y ) ) )
6334, 36, 623eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( G  .\/  Y ) ) )
64 cdleme20.n . 2  |-  N  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  D ) )
65 cdleme20.o . 2  |-  O  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( G  .\/  Y ) )
6663, 64, 653eqtr4g 2533 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T )  /\  ( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( S  .\/  T )  /\  -.  U  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )  ->  N  =  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   joincjn 15431   meetcmee 15432   Latclat 15532   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LHypclh 34798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802
This theorem is referenced by:  cdleme20  35138
  Copyright terms: Public domain W3C validator