Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme18d Structured version   Unicode version

Theorem cdleme18d 34258
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 114, 4th sentence of 4th paragraph.  F,  G,  D,  E represent f(s), fs(r), f(t), ft(r) respectively. We show fs(r)=ft(r) for all possible r (which must equal p or q in the case of exactly 3 atoms in p  \/ q/0 i.e. when  -.  E. r  e.  A...). (Contributed by NM, 12-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme18d.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme18d.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme18d.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme18d.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme18d.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme18d.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme18d.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme18d.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme18d.d  |-  D  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
cdleme18d.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme18d  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E )
Distinct variable groups:    A, r    D, r    F, r    .\/ , r    .<_ , r   
./\ , r    P, r    Q, r    R, r    S, r    T, r    W, r
Allowed substitution hints:    U( r)    E( r)    G( r)    H( r)    K( r)

Proof of Theorem cdleme18d
StepHypRef Expression
1 eleq1 2524 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  ( R  e.  A  <->  P  e.  A ) )
2 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .<_  W  <->  P  .<_  W ) )
32notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  ( -.  R  .<_  W  <->  -.  P  .<_  W ) )
41, 3anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  <-> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )
543anbi1d 1294 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  <->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) ) ) )
653anbi2d 1295 . . . . 5  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  <-> 
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) ) ) )
7 simp11 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp21 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
9 simp13l 1103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
10 simp22 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
11 simp322 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
12 cdleme18d.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdleme18d.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 cdleme18d.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdleme18d.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
16 cdleme18d.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme18d.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme18d.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
19 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme17d1 34252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  Q )
217, 8, 9, 10, 11, 20syl131anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  Q )
22 simp23 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
23 simp323 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
24 cdleme18d.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
25 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2612, 13, 14, 15, 16, 17, 24, 25cdleme17d1 34252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  Q )
277, 8, 9, 22, 23, 26syl131anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T ) 
./\  W ) ) )  =  Q )
2821, 27eqtr4d 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
296, 28syl6bi 228 . . . 4  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
30 cdleme18d.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
31 cdleme18d.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )
3230, 31eqeq12i 2472 . . . . 5  |-  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
33 oveq1 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .\/  S )  =  ( P  .\/  S
) )
3433oveq1d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )
3534oveq2d 6211 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
3635oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
37 oveq1 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  P  ->  ( R  .\/  T )  =  ( P  .\/  T
) )
3837oveq1d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  P  ->  (
( R  .\/  T
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  T )  ./\  W ) )
3938oveq2d 6211 . . . . . . 7  |-  ( R  =  P  ->  ( D  .\/  ( ( R 
.\/  T )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T ) 
./\  W ) ) )
4039oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( R  =  P  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
4136, 40eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
4232, 41syl5bb 257 . . . 4  |-  ( R  =  P  ->  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( P  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
4329, 42sylibrd 234 . . 3  |-  ( R  =  P  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E ) )
4443com12 31 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  P  ->  G  =  E ) )
45 eleq1 2524 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  e.  A  <->  Q  e.  A ) )
46 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .<_  W  <->  Q  .<_  W ) )
4746notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( -.  R  .<_  W  <->  -.  Q  .<_  W ) )
4845, 47anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  <-> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
49483anbi1d 1294 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  <->  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) ) ) )
50 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  Q  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
51503anbi1d 1294 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )
52513anbi2d 1295 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )  <->  ( P  =/=  Q  /\  ( Q 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
5349, 523anbi23d 1293 . . . . 5  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  <-> 
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) ) ) )
54 simp11l 1099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
55 simp11r 1100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  W  e.  H
)
56 simp12 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
57 simp21 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
58 simp22 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
59 simp31 1024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
60 simp322 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
61 simp33 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
62 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )
6312, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 62cdleme18c 34256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  P )
6454, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 63syl233anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  P )
65 simp23 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
66 simp323 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )
6812, 13, 14, 15, 16, 17, 24, 67cdleme18c 34256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  P )
6954, 55, 56, 57, 65, 59, 66, 61, 68syl233anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T ) 
./\  W ) ) )  =  P )
7064, 69eqtr4d 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
7153, 70syl6bi 228 . . . 4  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
72 oveq1 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .\/  S )  =  ( Q  .\/  S
) )
7372oveq1d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  =  ( ( Q 
.\/  S )  ./\  W ) )
7473oveq2d 6211 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
7574oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
76 oveq1 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  Q  ->  ( R  .\/  T )  =  ( Q  .\/  T
) )
7776oveq1d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  Q  ->  (
( R  .\/  T
)  ./\  W )  =  ( ( Q 
.\/  T )  ./\  W ) )
7877oveq2d 6211 . . . . . . 7  |-  ( R  =  Q  ->  ( D  .\/  ( ( R 
.\/  T )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T ) 
./\  W ) ) )
7978oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( R  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) )
8075, 79eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  T )  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
8132, 80syl5bb 257 . . . 4  |-  ( R  =  Q  ->  ( G  =  E  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( Q  .\/  S ) 
./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( Q  .\/  T )  ./\  W )
) ) ) )
8271, 81sylibrd 234 . . 3  |-  ( R  =  Q  ->  (
( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E ) )
8382com12 31 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  Q  ->  G  =  E ) )
84 simp11l 1099 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
85 simp321 1138 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
86 simp33 1026 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
87 simp12l 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  A
)
88 simp13l 1103 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
89 simp31 1024 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
90 simp21l 1105 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  R  e.  A
)
91 simp21r 1106 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
9212, 13, 15cdleme0nex 34253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/= 
Q )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( R  =  P  \/  R  =  Q ) )
9384, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92syl332anc 1250 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( R  =  P  \/  R  =  Q ) )
9444, 83, 93mpjaod 381 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  G  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   lecple 14359   joincjn 15228   meetcmee 15229   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951
This theorem is referenced by:  cdleme21  34300
  Copyright terms: Public domain W3C validator