Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme16e Structured version   Unicode version

Theorem cdleme16e 34284
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph on p. 114, 3rd part of 3rd sentence.  F and  G represent f(s) and f(t) respectively. We show, in their notation, (s  \/ t)  /\ (f(s)  \/ f(t))=(s  \/ t)  /\ w. (Contributed by NM, 11-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme12.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme12.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme12.g  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme16e  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )

Proof of Theorem cdleme16e
StepHypRef Expression
1 simp11l 1099 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 33366 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simp22l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  T  e.  A )
6 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 cdleme12.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 cdleme12.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
96, 7, 8hlatjcl 33369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
101, 4, 5, 9syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)
11 simp11 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp12 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
13 simp13 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
14 simp21 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
15 simp23l 1109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  P  =/=  Q )
16 simp31 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
17 cdleme12.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 cdleme12.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
19 cdleme12.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
20 cdleme12.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
21 cdleme12.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2217, 7, 18, 8, 19, 20, 21cdleme3fa 34238 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 22syl132anc 1237 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  F  e.  A )
24 simp22 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )
25 simp32 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  T  .<_  ( P  .\/  Q
) )
26 cdleme12.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( T  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  T )  ./\  W )
) )
2717, 7, 18, 8, 19, 20, 26cdleme3fa 34238 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  G  e.  A )
2811, 12, 13, 24, 15, 25, 27syl132anc 1237 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  G  e.  A )
296, 7, 8hlatjcl 33369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( F  .\/  G
)  e.  ( Base `  K ) )
301, 23, 28, 29syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)
316, 17, 18latmle1 15368 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
323, 10, 30, 31syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T ) )
3317, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme15 34280 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )
346, 18latmcl 15344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
353, 10, 30, 34syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K ) )
36 simp11r 1100 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  H )
376, 19lhpbase 34000 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
396, 17, 18latlem12 15370 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) ) )
403, 35, 10, 38, 39syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( S  .\/  T )  /\  ( ( S 
.\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
4132, 33, 40mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W ) )
42 hlatl 33363 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
431, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  K  e.  AtLat
)
4417, 7, 18, 8, 19, 20, 21, 26cdleme16d 34283 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A )
45 simp21r 1106 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
46 simp23r 1110 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  S  =/=  T )
4717, 7, 18, 8, 19lhpat 34045 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  S  =/=  T ) )  ->  ( ( S 
.\/  T )  ./\  W )  e.  A )
481, 36, 4, 45, 5, 46, 47syl222anc 1235 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  e.  A )
4917, 8atcmp 33314 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  e.  A  /\  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W )  e.  A )  ->  (
( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( (
( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )  <->  ( ( S  .\/  T
)  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T )  ./\  W )
) )
5141, 50mpbid 210 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( T  e.  A  /\  -.  T  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  S  =/=  T ) )  /\  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  T  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  U  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  ./\  ( F  .\/  G ) )  =  ( ( S  .\/  T ) 
./\  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   meetcmee 15237   Latclat 15337   Atomscatm 33266   AtLatcal 33267   HLchlt 33353   LHypclh 33986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990
This theorem is referenced by:  cdleme16g  34286
  Copyright terms: Public domain W3C validator