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Theorem cdlemd7 33688
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemd4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemd4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemd4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemd4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemd7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )

Proof of Theorem cdlemd7
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A ) )
2 simp2l 1014 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp2r 1015 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp11l 1099 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 32848 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
7 simp2rl 1057 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 cdlemd4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
108, 9atbase 32774 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
117, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 simp2ll 1055 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  e.  A )
138, 9atbase 32774 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
15 simp11 1018 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simp12l 1101 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  F  e.  T )
17 cdlemd4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
18 cdlemd4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
198, 17, 18ltrncl 33609 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
2015, 16, 14, 19syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )
21 simp3r 1017 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
22 cdlemd4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
23 cdlemd4.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
248, 22, 23latnlej1l 15231 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  Q  =/=  P )
2524necomd 2690 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
266, 11, 14, 20, 21, 25syl131anc 1231 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
27 simp3l 1016 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  P ) )
28 simp12 1019 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)
2922, 23, 9, 17, 18cdlemd6 33687 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  /\  ( F `  P )  =  ( G `  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( G `
 Q ) )
3015, 28, 2, 3, 21, 27, 29syl231anc 1238 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  =  ( G `  Q ) )
3122, 23, 9, 17, 18cdlemd5 33686 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  P  =/=  Q )  /\  (
( F `  P
)  =  ( G `
 P )  /\  ( F `  Q )  =  ( G `  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )
321, 2, 3, 26, 27, 30, 31syl132anc 1236 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( F `  P )  =  ( G `  P )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F `  R )  =  ( G `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   lecple 14237   joincjn 15106   Latclat 15207   Atomscatm 32748   HLchlt 32835   LHypclh 33468   LTrncltrn 33585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836  df-llines 32982  df-psubsp 32987  df-pmap 32988  df-padd 33280  df-lhyp 33472  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589  df-trl 33643
This theorem is referenced by:  cdlemd9  33690
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