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Theorem cdlemc5 34866
Description: Lemma for cdlemc 34868. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemc3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemc3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemc3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemc3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemc3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemc3.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemc5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )

Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23l 1112 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp21 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  F  e.  T )
5 cdlemc3.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemc3.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemc3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 34811 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( F `  Q )  e.  A
)
103, 4, 2, 9syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  A )
11 cdlemc3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 11, 6hlatlej2 34047 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( F `  Q )  e.  A )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
14 simp23 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
15 cdlemc3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 34837 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F
) )  =  ( Q  .\/  ( F `
 Q ) ) )
173, 4, 14, 16syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =  ( Q 
.\/  ( F `  Q ) ) )
1813, 17breqtrrd 4466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  F ) ) )
19 simp22 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 cdlemc3.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 34863 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )
23 hllat 34035 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
241, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  Lat )
25 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2625, 6atbase 33961 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
272, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
2825, 7, 8ltrncl 34796 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
293, 4, 27, 28syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3025, 7, 8, 15trlcl 34835 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
313, 4, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 11latjcl 15527 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
3324, 27, 31, 32syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K ) )
34 simp22l 1110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  A )
3525, 6atbase 33961 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3725, 7, 8ltrncl 34796 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
383, 4, 36, 37syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
3925, 11, 6hlatjcl 34038 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
401, 34, 2, 39syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
41 simp1r 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  H )
4225, 7lhpbase 34669 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
4425, 20latmcl 15528 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
4524, 40, 43, 44syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
4625, 11latjcl 15527 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 38, 45, 46syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4825, 5, 20latlem12 15554 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( F `  Q )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( F `  Q ) 
.<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
4924, 29, 33, 47, 48syl13anc 1225 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( ( F `
 Q )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
5018, 22, 49mpbi2and 914 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) ) )
51 hlatl 34032 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  AtLat )
53 simp3r 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  P )
545, 6, 7, 8, 15trlat 34840 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  ( R `  F )  e.  A
)
553, 19, 4, 53, 54syl112anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  A )
565, 7, 8, 15trlle 34855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  .<_  W )
573, 4, 56syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  .<_  W )
58 simp23r 1113 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
59 nbrne2 4458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  -> 
( R `  F
)  =/=  Q )
6059necomd 2731 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
6157, 58, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
62 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6311, 6, 62llni2 34183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  F )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  F ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
641, 2, 55, 61, 63syl31anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
655, 6, 7, 8ltrnat 34811 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
663, 4, 34, 65syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  A )
675, 11, 6hlatlej1 34046 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
681, 34, 66, 67syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
69 simp3l 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) )
70 nbrne2 4458 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  =/=  Q )
725, 11, 20, 6, 7lhpat 34714 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
733, 19, 2, 71, 72syl112anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
7425, 5, 20latmle2 15553 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
7524, 40, 43, 74syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
765, 6, 7, 8ltrnel 34810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
7776simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
783, 4, 19, 77syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  ( F `  P
)  .<_  W )
79 nbrne2 4458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  =/=  ( F `  P
) )
8079necomd 2731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)
8175, 78, 80syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )
8211, 6, 62llni2 34183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P
)  e.  A  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )  /\  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
831, 66, 73, 81, 82syl31anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
845, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 34865 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
85843adant3r 1220 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =/=  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
8625, 20latmcl 15528 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8724, 33, 47, 86syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
88 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
8925, 5, 88, 6atlen0 33982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( F `  Q
)  e.  A )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9052, 87, 10, 50, 89syl31anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9120, 88, 6, 622llnmat 34195 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
LLines `  K ) )  /\  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  e.  A
)
921, 64, 83, 85, 90, 91syl32anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)
935, 6atcmp 33983 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( F `  Q )  e.  A  /\  (
( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)  ->  ( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9452, 10, 92, 93syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9550, 94mpbid 210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   0.cp0 15513   Latclat 15521   Atomscatm 33935   AtLatcal 33936   HLchlt 34022   LLinesclln 34162   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   trLctrl 34829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-map 7412  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830
This theorem is referenced by:  cdlemc  34868
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