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Theorem cdlemc5 35795
Description: Lemma for cdlemc 35797. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemc3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemc3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemc3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemc3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemc3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemc3.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemc5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )

Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23l 1118 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp21 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  F  e.  T )
5 cdlemc3.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemc3.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemc3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 35739 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( F `  Q )  e.  A
)
103, 4, 2, 9syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  A )
11 cdlemc3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
125, 11, 6hlatlej2 34975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( F `  Q )  e.  A )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( F `  Q ) ) )
14 simp23 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
15 cdlemc3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 35766 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F
) )  =  ( Q  .\/  ( F `
 Q ) ) )
173, 4, 14, 16syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =  ( Q 
.\/  ( F `  Q ) ) )
1813, 17breqtrrd 4463 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  F ) ) )
19 simp22 1031 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 cdlemc3.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 35792 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )
23 hllat 34963 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
241, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  Lat )
25 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2625, 6atbase 34889 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
272, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
2825, 7, 8ltrncl 35724 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
293, 4, 27, 28syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3025, 7, 8, 15trlcl 35764 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
313, 4, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 11latjcl 15660 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  e.  ( Base `  K
) )
3324, 27, 31, 32syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K ) )
34 simp22l 1116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  A )
3525, 6atbase 34889 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3725, 7, 8ltrncl 35724 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
383, 4, 36, 37syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
3925, 11, 6hlatjcl 34966 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
401, 34, 2, 39syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
41 simp1r 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  H )
4225, 7lhpbase 35597 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
4425, 20latmcl 15661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
4524, 40, 43, 44syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
4625, 11latjcl 15660 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 38, 45, 46syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
4825, 5, 20latlem12 15687 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( F `  Q )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( F `  Q ) 
.<_  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
4924, 29, 33, 47, 48syl13anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( ( F `
 Q )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )  <->  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
5018, 22, 49mpbi2and 921 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  .<_  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) ) )
51 hlatl 34960 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  K  e.  AtLat )
53 simp3r 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  P )
545, 6, 7, 8, 15trlat 35769 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  ( R `  F )  e.  A
)
553, 19, 4, 53, 54syl112anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  e.  A )
565, 7, 8, 15trlle 35784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  .<_  W )
573, 4, 56syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( R `  F
)  .<_  W )
58 simp23r 1119 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
59 nbrne2 4455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  -> 
( R `  F
)  =/=  Q )
6059necomd 2714 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  F
)  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
6157, 58, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  Q  =/=  ( R `  F ) )
62 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6311, 6, 62llni2 35111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  F )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  F ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
641, 2, 55, 61, 63syl31anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K ) )
655, 6, 7, 8ltrnat 35739 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
663, 4, 34, 65syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  e.  A )
675, 11, 6hlatlej1 34974 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
681, 34, 66, 67syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
69 simp3l 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) )
70 nbrne2 4455 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )  ->  P  =/=  Q )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  P  =/=  Q )
725, 11, 20, 6, 7lhpat 35642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
733, 19, 2, 71, 72syl112anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )
7425, 5, 20latmle2 15686 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
7524, 40, 43, 74syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
765, 6, 7, 8ltrnel 35738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
7776simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  P )  .<_  W )
783, 4, 19, 77syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  ->  -.  ( F `  P
)  .<_  W )
79 nbrne2 4455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  =/=  ( F `  P
) )
8079necomd 2714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W )  ->  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)
8175, 78, 80syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  W ) )
8211, 6, 62llni2 35111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P
)  e.  A  /\  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  A )  /\  ( F `  P )  =/=  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
831, 66, 73, 81, 82syl31anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  e.  ( LLines `  K ) )
845, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 35794 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )
85843adant3r 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( Q  .\/  ( R `  F )
)  =/=  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) ) )
8625, 20latmcl 15661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 F ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8724, 33, 47, 86syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
88 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
8925, 5, 88, 6atlen0 34910 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( F `  Q
)  e.  A )  /\  ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9052, 87, 10, 50, 89syl31anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) )
9120, 88, 6, 622llnmat 35123 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `  F )
)  e.  ( LLines `  K )  /\  (
( F `  P
)  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W ) )  e.  (
LLines `  K ) )  /\  ( ( Q 
.\/  ( R `  F ) )  =/=  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)  /\  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )  ->  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
) )  e.  A
)
921, 64, 83, 85, 90, 91syl32anc 1237 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)
935, 6atcmp 34911 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( F `  Q )  e.  A  /\  (
( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  e.  A
)  ->  ( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `  F ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9452, 10, 92, 93syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( ( F `  Q )  .<_  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) )  <->  ( F `  Q )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  F )
)  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) ) )
9550, 94mpbid 210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( -.  Q  .<_  ( P  .\/  ( F `  P
) )  /\  ( F `  P )  =/=  P ) )  -> 
( F `  Q
)  =  ( ( Q  .\/  ( R `
 F ) ) 
./\  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   lecple 14686   joincjn 15552   meetcmee 15553   0.cp0 15646   Latclat 15654   Atomscatm 34863   AtLatcal 34864   HLchlt 34950   LLinesclln 35090   LHypclh 35583   LTrncltrn 35700   trLctrl 35758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759
This theorem is referenced by:  cdlemc  35797
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