Theorem cdjreui 27027

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	|- A e. SH
cdjreu.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	|- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdjreu.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shseli 25910	. . . 4 |- ( C e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
4	3	biimpi 194	. . 3 |- ( C e. ( A +H B ) -> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
5		reeanv 3029	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) <-> ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
6		eqtr2 2494	. . . . . . 7 |- ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> ( x +h y ) = ( z +h w ) )
7	1	sheli 25807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	2	sheli 25807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9	7, 8	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x e. ~H /\ y e. ~H ) )
10	1	sheli 25807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> z e. ~H )
11	2	sheli 25807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> w e. ~H )
12	10, 11	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( z e. ~H /\ w e. ~H ) )
13		hvaddsub4 25671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
14	9, 12, 13	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
15	14	an4s 824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
16	15	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
17		shsubcl 25814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. SH /\ w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
18	2, 17	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
20		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. B <-> ( w -h y ) e. B ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
23		shsubcl 25814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
24	1, 23	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( x -h z ) e. A )
26	22, 25	jctild 543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
27	26	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
28		elin 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) )
29		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
30	28, 29	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
32	27, 31	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. 0H ) )
33		elch0 25848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. 0H <-> ( x -h z ) = 0h )
34		hvsubeq0 25661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) = 0h <-> x = z ) )
35	33, 34	syl5bb 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
36	7, 10, 35	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
38	32, 37	sylibd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> x = z ) )
39	16, 38	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) -> x = z ) )
40	6, 39	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
41	40	rexlimdvva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
42	5, 41	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
43	42	ralrimivva 2885	. . 3 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
44	4, 43	anim12i 566	. 2 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
45		oveq1 6289	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x +h y ) = ( z +h y ) )
46	45	eqeq2d 2481	. . . . 5 |- ( x = z -> ( C = ( x +h y ) <-> C = ( z +h y ) ) )
47	46	rexbidv 2973	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. y e. B C = ( z +h y ) ) )
48		oveq2 6290	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z +h y ) = ( z +h w ) )
49	48	eqeq2d 2481	. . . . 5 |- ( y = w -> ( C = ( z +h y ) <-> C = ( z +h w ) ) )
50	49	cbvrexv 3089	. . . 4 |- ( E. y e. B C = ( z +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) )
51	47, 50	syl6bb 261	. . 3 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
52	51	reu4 3297	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) <-> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
53	44, 52	sylibr 212	1 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   i^i cin 3475  (class class class)co 6282   ~Hchil 25512   +h cva 25513   0hc0v 25517   -h cmv 25518   SHcsh 25521   +H cph 25524   0Hc0h 25528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-grpo 24869  df-ablo 24960  df-hvsub 25564  df-sh 25800  df-ch0 25847  df-shs 25902

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  27030