Theorem cdjreui 25981

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	|- A e. SH
cdjreu.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	|- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdjreu.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shseli 24864	. . . 4 |- ( C e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
4	3	biimpi 194	. . 3 |- ( C e. ( A +H B ) -> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
5		reeanv 2987	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) <-> ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
6		eqtr2 2478	. . . . . . 7 |- ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> ( x +h y ) = ( z +h w ) )
7	1	sheli 24761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	2	sheli 24761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9	7, 8	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x e. ~H /\ y e. ~H ) )
10	1	sheli 24761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> z e. ~H )
11	2	sheli 24761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> w e. ~H )
12	10, 11	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( z e. ~H /\ w e. ~H ) )
13		hvaddsub4 24625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
14	9, 12, 13	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
15	14	an4s 822	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
16	15	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
17		shsubcl 24768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. SH /\ w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
18	2, 17	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
20		eleq1 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. B <-> ( w -h y ) e. B ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
23		shsubcl 24768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
24	1, 23	mp3an1 1302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( x -h z ) e. A )
26	22, 25	jctild 543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
27	26	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
28		elin 3640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) )
29		eleq2 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
30	28, 29	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
32	27, 31	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. 0H ) )
33		elch0 24802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. 0H <-> ( x -h z ) = 0h )
34		hvsubeq0 24615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) = 0h <-> x = z ) )
35	33, 34	syl5bb 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
36	7, 10, 35	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
38	32, 37	sylibd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> x = z ) )
39	16, 38	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) -> x = z ) )
40	6, 39	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
41	40	rexlimdvva 2947	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
42	5, 41	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
43	42	ralrimivva 2907	. . 3 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
44	4, 43	anim12i 566	. 2 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
45		oveq1 6200	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x +h y ) = ( z +h y ) )
46	45	eqeq2d 2465	. . . . 5 |- ( x = z -> ( C = ( x +h y ) <-> C = ( z +h y ) ) )
47	46	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. y e. B C = ( z +h y ) ) )
48		oveq2 6201	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z +h y ) = ( z +h w ) )
49	48	eqeq2d 2465	. . . . 5 |- ( y = w -> ( C = ( z +h y ) <-> C = ( z +h w ) ) )
50	49	cbvrexv 3047	. . . 4 |- ( E. y e. B C = ( z +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) )
51	47, 50	syl6bb 261	. . 3 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
52	51	reu4 3253	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) <-> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
53	44, 52	sylibr 212	1 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797   i^i cin 3428  (class class class)co 6193   ~Hchil 24466   +h cva 24467   0hc0v 24471   -h cmv 24472   SHcsh 24475   +H cph 24478   0Hc0h 24482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-grpo 23823  df-ablo 23914  df-hvsub 24518  df-sh 24754  df-ch0 24801  df-shs 24856

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  25984