Theorem cdjreui 12004

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520.

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	|- A e. SH
cdjreu.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	|- ((C e. (A +H B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem cdjreui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdjreu.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shseli 10913	. . . 4 |- (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))
4	3	biimpi 168	. . 3 |- (C e. (A +H B) -> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))
5		hvaddsub4 10578	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((x +h y) = (z +h w) <-> (x -h z) = (w -h y)))
6	1	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. A -> x e. ~H)
7	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. B -> y e. ~H)
8	6, 7	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. ~H /\ y e. ~H))
9	1	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. A -> z e. ~H)
10	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. B -> w e. ~H)
11	9, 10	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. A /\ w e. B) -> (z e. ~H /\ w e. ~H))
12	5, 8, 11	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. A /\ w e. B)) -> ((x +h y) = (z +h w) <-> (x -h z) = (w -h y)))
13	12	an4s 566	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ z e. A) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x +h y) = (z +h w) <-> (x -h z) = (w -h y)))
14	13	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x +h y) = (z +h w) <-> (x -h z) = (w -h y)))
15		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x -h z) = (w -h y) -> ((x -h z) e. B <-> (w -h y) e. B))
16		shsubclOLD 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (B e. SH -> ((w e. B /\ y e. B) -> (w -h y) e. B))
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. B /\ y e. B) -> (w -h y) e. B)
18	17	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. B /\ w e. B) -> (w -h y) e. B)
19	15, 18	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. B /\ w e. B) -> ((x -h z) = (w -h y) -> (x -h z) e. B))
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. A /\ z e. A) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) = (w -h y) -> (x -h z) e. B))
21		shsubclOLD 10723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. SH -> ((x e. A /\ z e. A) -> (x -h z) e. A))
22	1, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. A) -> (x -h z) e. A)
23	22	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. A /\ z e. A) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> (x -h z) e. A)
24	20, 23	jctild 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. A /\ z e. A) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) = (w -h y) -> ((x -h z) e. A /\ (x -h z) e. B)))
25	24	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) = (w -h y) -> ((x -h z) e. A /\ (x -h z) e. B)))
26		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A i^i B) = 0H -> ((x -h z) e. (A i^i B) <-> (x -h z) e. 0H))
27		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x -h z) e. (A i^i B) <-> ((x -h z) e. A /\ (x -h z) e. B))
28	26, 27	syl5bbr 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A i^i B) = 0H -> (((x -h z) e. A /\ (x -h z) e. B) <-> (x -h z) e. 0H))
29	28	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> (((x -h z) e. A /\ (x -h z) e. B) <-> (x -h z) e. 0H))
30	25, 29	sylibd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) = (w -h y) -> (x -h z) e. 0H))
31		hvsubeq0 10567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x -h z) = 0h <-> x = z))
32		elch0 10759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x -h z) e. 0H <-> (x -h z) = 0h)
33	31, 32	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x -h z) e. 0H <-> x = z))
34	33, 6, 9	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. A /\ z e. A) -> ((x -h z) e. 0H <-> x = z))
35	34	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) e. 0H <-> x = z))
36	30, 35	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x -h z) = (w -h y) -> x = z))
37	14, 36	sylbid 220	. . . . . . . . 9 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((x +h y) = (z +h w) -> x = z))
38		eqtr2 1905	. . . . . . . . 9 |- ((C = (x +h y) /\ C = (z +h w)) -> (x +h y) = (z +h w))
39	37, 38	syl5 20	. . . . . . . 8 |- ((((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) /\ (y e. B /\ w e. B)) -> ((C = (x +h y) /\ C = (z +h w)) -> x = z))
40	39	ex 402	. . . . . . 7 |- (((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) -> ((y e. B /\ w e. B) -> ((C = (x +h y) /\ C = (z +h w)) -> x = z)))
41	40	r19.23advv 2218	. . . . . 6 |- (((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) -> (E.y e. B E.w e. B (C = (x +h y) /\ C = (z +h w)) -> x = z))
42		reeanv 2249	. . . . . 6 |- (E.y e. B E.w e. B (C = (x +h y) /\ C = (z +h w)) <-> (E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)))
43	41, 42	syl5ibr 224	. . . . 5 |- (((A i^i B) = 0H /\ (x e. A /\ z e. A)) -> ((E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)) -> x = z))
44	43	ex 402	. . . 4 |- ((A i^i B) = 0H -> ((x e. A /\ z e. A) -> ((E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)) -> x = z)))
45	44	r19.21aivv 2183	. . 3 |- ((A i^i B) = 0H -> A.x e. A A.z e. A ((E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)) -> x = z))
46	4, 45	anim12i 360	. 2 |- ((C e. (A +H B) /\ (A i^i B) = 0H) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) /\ A.x e. A A.z e. A ((E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)) -> x = z)))
47		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = z -> (x +h y) = (z +h y))
48	47	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (x = z -> (C = (x +h y) <-> C = (z +h y)))
49	48	rexbidv 2124	. . . 4 |- (x = z -> (E.y e. B C = (x +h y) <-> E.y e. B C = (z +h y)))
50		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (y = w -> (z +h y) = (z +h w))
51	50	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (y = w -> (C = (z +h y) <-> C = (z +h w)))
52	51	cbvrexv 2281	. . . 4 |- (E.y e. B C = (z +h y) <-> E.w e. B C = (z +h w))
53	49, 52	syl6bb 595	. . 3 |- (x = z -> (E.y e. B C = (x +h y) <-> E.w e. B C = (z +h w)))
54	53	reu4 2446	. 2 |- (E!x e. A E.y e. B C = (x +h y) <-> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) /\ A.x e. A A.z e. A ((E.y e. B C = (x +h y) /\ E.w e. B C = (z +h w)) -> x = z)))
55	46, 54	sylibr 217	1 |- ((C e. (A +H B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107   i^i cin 2592  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424  SHcsh 10429   +H cph 10432  0Hc0h 10436

This theorem is referenced by:  cdj3lem2 12007  cdj3lem2b 12009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch0 10758  df-shsum 10906

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