Theorem cdjreui 25787

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	|- A e. SH
cdjreu.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	|- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdjreu.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shseli 24670	. . . 4 |- ( C e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
4	3	biimpi 194	. . 3 |- ( C e. ( A +H B ) -> E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )
5		reeanv 2883	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) <-> ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
6		eqtr2 2456	. . . . . . 7 |- ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> ( x +h y ) = ( z +h w ) )
7	1	sheli 24567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	2	sheli 24567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9	7, 8	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x e. ~H /\ y e. ~H ) )
10	1	sheli 24567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> z e. ~H )
11	2	sheli 24567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> w e. ~H )
12	10, 11	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( z e. ~H /\ w e. ~H ) )
13		hvaddsub4 24431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
14	9, 12, 13	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( z e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
15	14	an4s 822	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
16	15	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) <-> ( x -h z ) = ( w -h y ) ) )
17		shsubcl 24574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. SH /\ w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
18	2, 17	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. B /\ y e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( w -h y ) e. B )
20		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. B <-> ( w -h y ) e. B ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ w e. B ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. B ) )
23		shsubcl 24574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
24	1, 23	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x -h z ) e. A )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( x -h z ) e. A )
26	22, 25	jctild 543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
27	26	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) ) )
28		elin 3534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) )
29		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( x -h z ) e. ( A i^i B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
30	28, 29	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( x -h z ) e. A /\ ( x -h z ) e. B ) <-> ( x -h z ) e. 0H ) )
32	27, 31	sylibd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> ( x -h z ) e. 0H ) )
33		elch0 24608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x -h z ) e. 0H <-> ( x -h z ) = 0h )
34		hvsubeq0 24421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) = 0h <-> x = z ) )
35	33, 34	syl5bb 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
36	7, 10, 35	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) e. 0H <-> x = z ) )
38	32, 37	sylibd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x -h z ) = ( w -h y ) -> x = z ) )
39	16, 38	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( x +h y ) = ( z +h w ) -> x = z ) )
40	6, 39	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) /\ ( y e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
41	40	rexlimdvva 2843	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( E. y e. B E. w e. B ( C = ( x +h y ) /\ C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
42	5, 41	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
43	42	ralrimivva 2803	. . 3 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) )
44	4, 43	anim12i 566	. 2 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
45		oveq1 6093	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x +h y ) = ( z +h y ) )
46	45	eqeq2d 2449	. . . . 5 |- ( x = z -> ( C = ( x +h y ) <-> C = ( z +h y ) ) )
47	46	rexbidv 2731	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. y e. B C = ( z +h y ) ) )
48		oveq2 6094	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z +h y ) = ( z +h w ) )
49	48	eqeq2d 2449	. . . . 5 |- ( y = w -> ( C = ( z +h y ) <-> C = ( z +h w ) ) )
50	49	cbvrexv 2943	. . . 4 |- ( E. y e. B C = ( z +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) )
51	47, 50	syl6bb 261	. . 3 |- ( x = z -> ( E. y e. B C = ( x +h y ) <-> E. w e. B C = ( z +h w ) ) )
52	51	reu4 3148	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) <-> ( E. x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) /\ A. x e. A A. z e. A ( ( E. y e. B C = ( x +h y ) /\ E. w e. B C = ( z +h w ) ) -> x = z ) ) )
53	44, 52	sylibr 212	1 |- ( ( C e. ( A +H B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> E! x e. A E. y e. B C = ( x +h y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   E!wreu 2712   i^i cin 3322  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272   +h cva 24273   0hc0v 24277   -h cmv 24278   SHcsh 24281   +H cph 24284   0Hc0h 24288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-grpo 23629  df-ablo 23720  df-hvsub 24324  df-sh 24560  df-ch0 24607  df-shs 24662

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  25790