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Theorem cdj3lem3b 25856
Description: Lemma for cdj3i 25857. The second-component function  T is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem3.3  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, T, u
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
2 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
3 cdj3lem3.3 . . . 4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
41, 2shscomi 24778 . . . . 5  |-  ( B  +H  A )  =  ( A  +H  B
)
51sheli 24628 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
62sheli 24628 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
7 ax-hvcom 24415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
98eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( x  =  ( w  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  w ) ) )
109rexbidva 2744 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w
) ) )
1110riotabiia 6082 . . . . 5  |-  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) )  =  (
iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) )
124, 11mpteq12i 4388 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  +H  A )  |->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
133, 12eqtr4i 2466 . . 3  |-  T  =  ( x  e.  ( B  +H  A ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z ) ) )
141, 2, 13cdj3lem2b 25853 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
15 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
1615oveq1d 6118 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
17 oveq1 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
1817fveq2d 5707 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
1918oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
2016, 19breq12d 4317 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
21 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
2221oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
23 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
2423fveq2d 5707 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
2524oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
2622, 25breq12d 4317 . . . . . 6  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
2720, 26cbvral2v 2967 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
28 ralcom 2893 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
291sheli 24628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
30 normcl 24539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3231recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
332sheli 24628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
34 normcl 24539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3635recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
37 addcom 9567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  x ) ) )
3832, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) ) )
39 ax-hvcom 24415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4029, 33, 39syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4140fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )
4241oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
4338, 42breq12d 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4443ralbidva 2743 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. y  e.  A  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4544ralbiia 2759 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  x )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
46 fveq2 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  h )
)
4746oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  h
) ) )
48 oveq2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  h  ->  (
y  +h  x )  =  ( y  +h  h ) )
4948fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  ( y  +h  x ) )  =  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )
5049oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) )
5147, 50breq12d 4317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) ) )
52 fveq2 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  t )
)
5352oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  h
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
54 oveq1 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  (
y  +h  h )  =  ( t  +h  h ) )
5554fveq2d 5707 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  ( y  +h  h ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5655oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  h
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5753, 56breq12d 4317 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5851, 57cbvral2v 2967 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5945, 58bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( A. h  e.  B  A. t  e.  A  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6027, 28, 593bitri 271 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6160anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
6261rexbii 2752 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
632, 1shscomi 24778 . . . . 5  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
6463raleqi 2933 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) )
6564anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6665rexbii 2752 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6714, 62, 663imtr4i 266 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ` cfv 5430   iota_crio 6063  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431   ~Hchil 24333    +h cva 24334   normhcno 24337   SHcsh 24342    +H cph 24345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his3 24498  ax-his4 24499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-grpo 23690  df-ablo 23781  df-hnorm 24382  df-hvsub 24385  df-sh 24621  df-ch0 24668  df-shs 24723
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