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Theorem cdj3lem3b 27486
Description: Lemma for cdj3i 27487. The second-component function  T is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem3.3  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, T, u
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
2 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
3 cdj3lem3.3 . . . 4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
41, 2shscomi 26408 . . . . 5  |-  ( B  +H  A )  =  ( A  +H  B
)
51sheli 26258 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
62sheli 26258 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
7 ax-hvcom 26045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
98eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( x  =  ( w  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  w ) ) )
109rexbidva 2965 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w
) ) )
1110riotabiia 6275 . . . . 5  |-  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) )  =  (
iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) )
124, 11mpteq12i 4541 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  +H  A )  |->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
133, 12eqtr4i 2489 . . 3  |-  T  =  ( x  e.  ( B  +H  A ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z ) ) )
141, 2, 13cdj3lem2b 27483 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
1615oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
17 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
1817fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
1918oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
2016, 19breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
21 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
2221oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
23 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
2423fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
2524oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
2622, 25breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
2720, 26cbvral2v 3092 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
28 ralcom 3018 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
291sheli 26258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
30 normcl 26169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3231recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
332sheli 26258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
34 normcl 26169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3635recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
37 addcom 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  x ) ) )
3832, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) ) )
39 ax-hvcom 26045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4029, 33, 39syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4140fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
4338, 42breq12d 4469 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4443ralbidva 2893 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. y  e.  A  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4544ralbiia 2887 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  x )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  h )
)
4746oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  h
) ) )
48 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  h  ->  (
y  +h  x )  =  ( y  +h  h ) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  ( y  +h  x ) )  =  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )
5049oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) )
5147, 50breq12d 4469 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) ) )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  t )
)
5352oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  h
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
54 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  (
y  +h  h )  =  ( t  +h  h ) )
5554fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  ( y  +h  h ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5655oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  h
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5753, 56breq12d 4469 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5851, 57cbvral2v 3092 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5945, 58bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( A. h  e.  B  A. t  e.  A  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6027, 28, 593bitri 271 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6160anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
6261rexbii 2959 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
632, 1shscomi 26408 . . . . 5  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
6463raleqi 3058 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) )
6564anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6665rexbii 2959 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6714, 62, 663imtr4i 266 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   ~Hchil 25963    +h cva 25964   normhcno 25967   SHcsh 25972    +H cph 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-grpo 25320  df-ablo 25411  df-hnorm 26012  df-hvsub 26015  df-sh 26251  df-ch0 26298  df-shs 26353
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