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Theorem cdj3lem3b 28035
Description: Lemma for cdj3i 28036. The second-component function  T is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem3.3  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, T, u
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
2 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
3 cdj3lem3.3 . . . 4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
41, 2shscomi 26958 . . . . 5  |-  ( B  +H  A )  =  ( A  +H  B
)
51sheli 26809 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
62sheli 26809 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
7 ax-hvcom 26596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
85, 6, 7syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
98eqeq2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A )  ->  ( x  =  ( w  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  w ) ) )
109rexbidva 2875 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w
) ) )
1110riotabiia 6228 . . . . 5  |-  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) )  =  (
iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) )
124, 11mpteq12i 4451 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  +H  A )  |->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
133, 12eqtr4i 2453 . . 3  |-  T  =  ( x  e.  ( B  +H  A ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( w  +h  z ) ) )
141, 2, 13cdj3lem2b 28032 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
15 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
1615oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
17 oveq1 6256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
1817fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
1918oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
2016, 19breq12d 4379 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
21 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
2221oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
23 oveq2 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
2423fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
2524oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
2622, 25breq12d 4379 . . . . . 6  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
2720, 26cbvral2v 3004 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
28 ralcom 2928 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
291sheli 26809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ~H )
30 normcl 26720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3231recnd 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
332sheli 26809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
34 normcl 26720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
3635recnd 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
37 addcom 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  x ) ) )
3832, 36, 37syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) ) )
39 ax-hvcom 26596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4029, 33, 39syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
4140fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )
4241oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
4338, 42breq12d 4379 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4443ralbidva 2801 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. y  e.  A  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) ) )
4544ralbiia 2795 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  x )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) ) )
46 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  h )
)
4746oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  h
) ) )
48 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  h  ->  (
y  +h  x )  =  ( y  +h  h ) )
4948fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  h  ->  ( normh `  ( y  +h  x ) )  =  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )
5049oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) )
5147, 50breq12d 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  x ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  x ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) ) ) )
52 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  t )
)
5352oveq1d 6264 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  h
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
54 oveq1 6256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  (
y  +h  h )  =  ( t  +h  h ) )
5554fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( normh `  ( y  +h  h ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5655oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  h
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5753, 56breq12d 4379 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( y  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5851, 57cbvral2v 3004 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( normh `  y )  +  ( normh `  x
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( y  +h  x
) ) )  <->  A. h  e.  B  A. t  e.  A  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5945, 58bitr2i 253 . . . . 5  |-  ( A. h  e.  B  A. t  e.  A  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6027, 28, 593bitri 274 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )
6160anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
6261rexbii 2866 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
632, 1shscomi 26958 . . . . 5  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
6463raleqi 2968 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) )
6564anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6665rexbii 2866 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( B  +H  A ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6714, 62, 663imtr4i 269 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   ` cfv 5544   iota_crio 6210  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   ~Hchil 26514    +h cva 26515   normhcno 26518   SHcsh 26523    +H cph 26526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-hilex 26594  ax-hfvadd 26595  ax-hvcom 26596  ax-hvass 26597  ax-hv0cl 26598  ax-hvaddid 26599  ax-hfvmul 26600  ax-hvmulid 26601  ax-hvmulass 26602  ax-hvdistr1 26603  ax-hvdistr2 26604  ax-hvmul0 26605  ax-hfi 26674  ax-his1 26677  ax-his3 26679  ax-his4 26680
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-grpo 25861  df-ablo 25952  df-hnorm 26563  df-hvsub 26566  df-sh 26802  df-ch0 26848  df-shs 26903
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