Theorem cdj3lem3b 12012

Description: Lemma for cdj3i 12013. The second-component function T is bounded if the subspaces are completely disjoint.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem3.3	|- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3b	|- (E.v e. RR (0 < v /\ A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))) -> E.v e. RR (0 < v /\ A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   x,B,y,z,w,v,u   v,T,u

Proof of Theorem cdj3lem3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.2	. . 3 |- B e. SH
2		cdj3lem2.1	. . 3 |- A e. SH
3		cdj3lem3.3	. . . 4 |- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
4	1, 2	shscomi 10965	. . . . . . 7 |- (B +H A) = (A +H B)
5	4	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (x e. (B +H A) <-> x e. (A +H B))
6		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. ~H /\ z e. ~H) -> (w +h z) = (z +h w))
7	1	sheli 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. B -> w e. ~H)
8	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. A -> z e. ~H)
9	6, 7, 8	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (w +h z) = (z +h w))
10	9	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (x = (w +h z) <-> x = (z +h w)))
11	10	rexbidva 2120	. . . . . . . . 9 |- (w e. B -> (E.z e. A x = (w +h z) <-> E.z e. A x = (z +h w)))
12	11	rabbiia 2285	. . . . . . . 8 |- {w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = {w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
13	12	unieqi 3187	. . . . . . 7 |- U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
14	13	eqeq2i 1894	. . . . . 6 |- (y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} <-> y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})
15	5, 14	anbi12i 540	. . . . 5 |- ((x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)}) <-> (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}))
16	15	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})} = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
17	3, 16	eqtr4i 1911	. . 3 |- T = {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})}
18	1, 2, 17	cdj3lem2b 12009	. 2 |- (E.v e. RR (0 < v /\ A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))) -> E.v e. RR (0 < v /\ A.u e. (B +H A)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))
19		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (x = t -> (normh` x) = (normh` t))
20	19	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (x = t -> ((normh` x) + (normh` y)) = ((normh` t) + (normh` y)))
21		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (x = t -> (x +h y) = (t +h y))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (x = t -> (normh` (x +h y)) = (normh` (t +h y)))
23	22	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (x = t -> (v x. (normh` (x +h y))) = (v x. (normh` (t +h y))))
24	20, 23	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (x = t -> (((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> ((normh` t) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (t +h y)))))
25		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (y = h -> (normh` y) = (normh` h))
26	25	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (y = h -> ((normh` t) + (normh` y)) = ((normh` t) + (normh` h)))
27		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (y = h -> (t +h y) = (t +h h))
28	27	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (y = h -> (normh` (t +h y)) = (normh` (t +h h)))
29	28	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (y = h -> (v x. (normh` (t +h y))) = (v x. (normh` (t +h h))))
30	26, 29	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (y = h -> (((normh` t) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (t +h y))) <-> ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h)))))
31	24, 30	cbvral2v 2283	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> A.t e. A A.h e. B ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h))))
32		ralcom 2242	. . . . 5 |- (A.t e. A A.h e. B ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h))) <-> A.h e. B A.t e. A ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h))))
33		addcom 6458	. . . . . . . . . 10 |- (((normh` x) e. CC /\ (normh` y) e. CC) -> ((normh` x) + (normh` y)) = ((normh` y) + (normh` x)))
34	1	sheli 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. B -> x e. ~H)
35		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. B -> (normh` x) e. RR)
37	36	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B -> (normh` x) e. CC)
38	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> y e. ~H)
39		normcl 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. RR)
40	38, 39	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> (normh` y) e. RR)
41	40	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> (normh` y) e. CC)
42	33, 37, 41	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ y e. A) -> ((normh` x) + (normh` y)) = ((normh` y) + (normh` x)))
43		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x +h y) = (y +h x))
44	43, 34, 38	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (x +h y) = (y +h x))
45	44	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (normh` (x +h y)) = (normh` (y +h x)))
46	45	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (v x. (normh` (x +h y))) = (v x. (normh` (y +h x))))
47	42, 46	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> ((normh` y) + (normh` x)) <_ (v x. (normh` (y +h x)))))
48	47	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- (x e. B -> (A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> A.y e. A ((normh` y) + (normh` x)) <_ (v x. (normh` (y +h x)))))
49	48	ralbiia 2133	. . . . . 6 |- (A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> A.x e. B A.y e. A ((normh` y) + (normh` x)) <_ (v x. (normh` (y +h x))))
50		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = h -> (normh` x) = (normh` h))
51	50	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (x = h -> ((normh` y) + (normh` x)) = ((normh` y) + (normh` h)))
52		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = h -> (y +h x) = (y +h h))
53	52	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (x = h -> (normh` (y +h x)) = (normh` (y +h h)))
54	53	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (x = h -> (v x. (normh` (y +h x))) = (v x. (normh` (y +h h))))
55	51, 54	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (x = h -> (((normh` y) + (normh` x)) <_ (v x. (normh` (y +h x))) <-> ((normh` y) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (y +h h)))))
56		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (y = t -> (normh` y) = (normh` t))
57	56	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (y = t -> ((normh` y) + (normh` h)) = ((normh` t) + (normh` h)))
58		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (y = t -> (y +h h) = (t +h h))
59	58	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (y = t -> (normh` (y +h h)) = (normh` (t +h h)))
60	59	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (y = t -> (v x. (normh` (y +h h))) = (v x. (normh` (t +h h))))
61	57, 60	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (y = t -> (((normh` y) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (y +h h))) <-> ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h)))))
62	55, 61	cbvral2v 2283	. . . . . 6 |- (A.x e. B A.y e. A ((normh` y) + (normh` x)) <_ (v x. (normh` (y +h x))) <-> A.h e. B A.t e. A ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h))))
63	49, 62	bitr2i 191	. . . . 5 |- (A.h e. B A.t e. A ((normh` t) + (normh` h)) <_ (v x. (normh` (t +h h))) <-> A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))))
64	31, 32, 63	3bitri 194	. . . 4 |- (A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))) <-> A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y))))
65	64	anbi2i 538	. . 3 |- ((0 < v /\ A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))) <-> (0 < v /\ A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))))
66	65	rexbii 2128	. 2 |- (E.v e. RR (0 < v /\ A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))) <-> E.v e. RR (0 < v /\ A.x e. B A.y e. A ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))))
67	2, 1	shscomi 10965	. . . . 5 |- (A +H B) = (B +H A)
68		raleq 2266	. . . . 5 |- ((A +H B) = (B +H A) -> (A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u)) <-> A.u e. (B +H A)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))
69	67, 68	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u)) <-> A.u e. (B +H A)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u)))
70	69	anbi2i 538	. . 3 |- ((0 < v /\ A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))) <-> (0 < v /\ A.u e. (B +H A)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))
71	70	rexbii 2128	. 2 |- (E.v e. RR (0 < v /\ A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))) <-> E.v e. RR (0 < v /\ A.u e. (B +H A)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))
72	18, 66, 71	3imtr4i 236	1 |- (E.v e. RR (0 < v /\ A.x e. A A.y e. B ((normh` x) + (normh` y)) <_ (v x. (normh` (x +h y)))) -> E.v e. RR (0 < v /\ A.u e. (A +H B)(normh` (T` u)) <_ (v x. (normh` u))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653  ~Hchil 10420   +h cva 10421  normhcno 10426  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  cdj3i 12013

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch0 10758  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain