Theorem cdj3lem3 12010

Description: Lemma for cdj3i 12013. Value of the second-component function T.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem3.3	|- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	|- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 10503	. . . . . . 7 |- ((D e. ~H /\ C e. ~H) -> (D +h C) = (C +h D))
2		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. SH
3	2	sheli 10715	. . . . . . 7 |- (D e. B -> D e. ~H)
4		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. SH
5	4	sheli 10715	. . . . . . 7 |- (C e. A -> C e. ~H)
6	1, 3, 5	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (D +h C) = (C +h D))
7	6	fveq2d 4685	. . . . 5 |- ((D e. B /\ C e. A) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
8	7	3adant3 896	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = (T` (C +h D)))
9		cdj3lem3.3	. . . . . 6 |- T = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
10	2, 4	shscomi 10965	. . . . . . . . 9 |- (B +H A) = (A +H B)
11	10	eleq2i 1961	. . . . . . . 8 |- (x e. (B +H A) <-> x e. (A +H B))
12		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. ~H /\ z e. ~H) -> (w +h z) = (z +h w))
13	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. B -> w e. ~H)
14	4	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. A -> z e. ~H)
15	12, 13, 14	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (w +h z) = (z +h w))
16	15	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. B /\ z e. A) -> (x = (w +h z) <-> x = (z +h w)))
17	16	rexbidva 2120	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> (E.z e. A x = (w +h z) <-> E.z e. A x = (z +h w)))
18	17	rabbiia 2285	. . . . . . . . . 10 |- {w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = {w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
19	18	unieqi 3187	. . . . . . . . 9 |- U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}
20	19	eqeq2i 1894	. . . . . . . 8 |- (y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)} <-> y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})
21	11, 20	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)}) <-> (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)}))
22	21	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})} = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (z +h w)})}
23	9, 22	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- T = {<.x, y>. | (x e. (B +H A) /\ y = U.{w e. B | E.z e. A x = (w +h z)})}
24	2, 4, 23	cdj3lem2 12007	. . . 4 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (D +h C)) = D)
25	8, 24	eqtr3d 1927	. . 3 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (B i^i A) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
26		incom 2787	. . . 4 |- (A i^i B) = (B i^i A)
27	26	eqeq1i 1891	. . 3 |- ((A i^i B) = 0H <-> (B i^i A) = 0H)
28	25, 27	syl3an3b 1135	. 2 |- ((D e. B /\ C e. A /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)
29	28	3com12 1071	1 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (T` (C +h D)) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108   i^i cin 2592  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  SHcsh 10429   +H cph 10432  0Hc0h 10436

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a 12011  cdj3i 12013

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch0 10758  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain