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Theorem cdj3lem2b 27782
Description: Lemma for cdj3i 27786. The first-component function  S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem2.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
2 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 27779 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
41, 2shseli 26661 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  <->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
54biimpi 196 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
6 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
76oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
8 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
98fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
109oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
117, 10breq12d 4410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
12 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
1312oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
14 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
1514fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
1615oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
1713, 16breq12d 4410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1811, 17rspc2v 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
19 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
201, 2, 19cdj3lem2 27780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
21203expa 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( S `  ( t  +h  h
) )  =  t )
2221fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  =  (
normh `  t ) )
2322ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
242sheli 26558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
25 normge0 26470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  0  <_  ( normh `  h ) )
281sheli 26558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
29 normcl 26469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
31 normcl 26469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
33 addge01 10105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( normh `  h )  <->  (
normh `  t )  <_ 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) ) )
3430, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( 0  <_  ( normh `  h )  <->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) ) )
3527, 34mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
3730ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
38 readdcl 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  e.  RR )
3930, 32, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR )
41 hvaddcl 26356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
4228, 24, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
43 normcl 26469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
45 remulcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4644, 45sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  e.  RR )
48 letr 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR  /\  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  /\  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( normh `  t )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
5036, 49mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5150imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  v  e.  RR )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5251an32s 807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5352adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5423, 53eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
55 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
5655fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
57 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5857oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5956, 58breq12d 4410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
6054, 59syl5ibrcom 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6160exp31 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6218, 61syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6362com14 90 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6463com4t 87 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
665, 65syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
6766com3l 83 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( u  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
6867ralrimdv 2822 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6968anim2d 565 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
7069reximdva 2881 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
713, 70mpcom 36 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3415   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571   iota_crio 6241  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524    + caddc 9527    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661   ~Hchil 26263    +h cva 26264   normhcno 26267   SHcsh 26272    +H cph 26275   0Hc0h 26279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hvcom 26345  ax-hvass 26346  ax-hv0cl 26347  ax-hvaddid 26348  ax-hfvmul 26349  ax-hvmulid 26350  ax-hvmulass 26351  ax-hvdistr1 26352  ax-hvdistr2 26353  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his3 26428  ax-his4 26429
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-grpo 25620  df-ablo 25711  df-hnorm 26312  df-hvsub 26315  df-sh 26551  df-ch0 26598  df-shs 26653
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  27785  cdj3i  27786
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