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Theorem cdj3lem2b 27018
Description: Lemma for cdj3i 27022. The first-component function  S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem2.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
2 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 27015 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
41, 2shseli 25896 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  <->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
54biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
6 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
76oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
8 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
98fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
109oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
117, 10breq12d 4453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
12 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
1312oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
14 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
1514fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
1615oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
1713, 16breq12d 4453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1811, 17rspc2v 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
19 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
201, 2, 19cdj3lem2 27016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
21203expa 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( S `  ( t  +h  h
) )  =  t )
2221fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  =  (
normh `  t ) )
2322ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
242sheli 25793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
25 normge0 25705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  0  <_  ( normh `  h ) )
281sheli 25793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
29 normcl 25704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
31 normcl 25704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
33 addge01 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( normh `  h )  <->  (
normh `  t )  <_ 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) ) )
3430, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( 0  <_  ( normh `  h )  <->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) ) )
3527, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
3730ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
38 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  e.  RR )
3930, 32, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR )
41 hvaddcl 25591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
4228, 24, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
43 normcl 25704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
45 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4644, 45sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  e.  RR )
48 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR  /\  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  /\  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( normh `  t )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
5036, 49mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5150imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  v  e.  RR )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5251an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5352adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5423, 53eqbrtrd 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
55 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
5655fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
57 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5857oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5956, 58breq12d 4453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
6054, 59syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6160exp31 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6218, 61syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6362com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6463com4t 85 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
665, 65syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
6766com3l 81 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( u  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
6867ralrimdv 2873 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6968anim2d 565 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
7069reximdva 2931 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
713, 70mpcom 36 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   ~Hchil 25498    +h cva 25499   normhcno 25502   SHcsh 25507    +H cph 25510   0Hc0h 25514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his3 25663  ax-his4 25664
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-grpo 24855  df-ablo 24946  df-hnorm 25547  df-hvsub 25550  df-sh 25786  df-ch0 25833  df-shs 25888
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  27021  cdj3i  27022
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