HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Structured version   Unicode version

Theorem cdj3lem2b 25986
Description: Lemma for cdj3i 25990. The first-component function  S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1  |-  A  e.  SH
cdj3lem2.2  |-  B  e.  SH
cdj3lem2.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3  |-  A  e.  SH
2 cdj3lem2.2 . . 3  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 25983 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
41, 2shseli 24864 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  <->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
54biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h
) )
6 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
76oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
8 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
98fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
109oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
117, 10breq12d 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
12 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
1312oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
14 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
1514fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
1615oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
1713, 16breq12d 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1811, 17rspc2v 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
19 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
201, 2, 19cdj3lem2 25984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
21203expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( S `  ( t  +h  h
) )  =  t )
2221fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  =  (
normh `  t ) )
2322ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
242sheli 24761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
25 normge0 24673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  h )
)
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  0  <_  ( normh `  h ) )
281sheli 24761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
29 normcl 24672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
31 normcl 24672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
33 addge01 9953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( normh `  h )  <->  (
normh `  t )  <_ 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) ) )
3430, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( 0  <_  ( normh `  h )  <->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) ) )
3527, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
3730ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
38 readdcl 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  e.  RR )
3930, 32, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR )
41 hvaddcl 24559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
4228, 24, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
43 normcl 24672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
45 remulcl 9471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4644, 45sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  e.  RR )
48 letr 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( normh `  t )  e.  RR  /\  ( (
normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  e.  RR  /\  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4937, 40, 47, 48syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  <_  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  /\  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( normh `  t )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
5036, 49mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
5150imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  v  e.  RR )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5251an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  v  e.  RR )  ->  ( normh `  t
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5352adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  t )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5423, 53eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
55 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
5655fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
57 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
5857oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
5956, 58breq12d 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
6054, 59syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  /\  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  /\  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) )
6160exp31 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6218, 61syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6362com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  (
( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) ) )
6463com4t 85 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
u  =  ( t  +h  h )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e.  A  E. h  e.  B  u  =  ( t  +h  h )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
665, 65syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
6766com3l 81 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  ( u  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
6867ralrimdv 2904 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  (
normh `  y ) )  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  ->  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6968anim2d 565 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
7069reximdva 2927 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
713, 70mpcom 36 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    i^i cin 3428   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519   iota_crio 6153  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386    + caddc 9389    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523   ~Hchil 24466    +h cva 24467   normhcno 24470   SHcsh 24475    +H cph 24478   0Hc0h 24482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his1 24629  ax-his3 24631  ax-his4 24632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-grpo 23823  df-ablo 23914  df-hnorm 24515  df-hvsub 24518  df-sh 24754  df-ch0 24801  df-shs 24856
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  25989  cdj3i  25990
  Copyright terms: Public domain W3C validator