Theorem cdj3lem2 12007

Description: Lemma for cdj3i 12013. Value of the first-component function S.

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem2.3	|- S = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)})}

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2	|- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = C)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w

Proof of Theorem cdj3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . . . 5 |- A e. SH
2		cdj3lem2.2	. . . . 5 |- B e. SH
3	1, 2	shsvai 10966	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B) -> (C +h D) e. (A +H B))
4		eqeq1 1890	. . . . . . . 8 |- (x = (C +h D) -> (x = (z +h w) <-> (C +h D) = (z +h w)))
5	4	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (x = (C +h D) -> (E.w e. B x = (z +h w) <-> E.w e. B (C +h D) = (z +h w)))
6	5	rabbidv 2287	. . . . . 6 |- (x = (C +h D) -> {z e. A | E.w e. B x = (z +h w)} = {z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
7	6	unieqd 3188	. . . . 5 |- (x = (C +h D) -> U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)} = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
8		cdj3lem2.3	. . . . 5 |- S = {<.x, y>. | (x e. (A +H B) /\ y = U.{z e. A | E.w e. B x = (z +h w)})}
9	1	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- A e. _V
10	9	rabex 3461	. . . . . 6 |- {z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} e. _V
11	10	uniex 3794	. . . . 5 |- U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} e. _V
12	7, 8, 11	fvopab4 4743	. . . 4 |- ((C +h D) e. (A +H B) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
13	3, 12	syl 12	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
14	13	3adant3 896	. 2 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)})
15		eqid 1884	. . . . 5 |- (C +h D) = (C +h D)
16		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (w = D -> (C +h w) = (C +h D))
17	16	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (w = D -> ((C +h D) = (C +h w) <-> (C +h D) = (C +h D)))
18	17	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((D e. B /\ (C +h D) = (C +h D)) -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
19	15, 18	mpan2 760	. . . 4 |- (D e. B -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
20	19	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> E.w e. B (C +h D) = (C +h w))
21		simp1 876	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> C e. A)
22	1, 2	cdjreui 12004	. . . . . 6 |- (((C +h D) e. (A +H B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
23	22, 3	sylan 497	. . . . 5 |- (((C e. A /\ D e. B) /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
24	23	3impa 1062	. . . 4 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w))
25		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (z = C -> (z +h w) = (C +h w))
26	25	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (z = C -> ((C +h D) = (z +h w) <-> (C +h D) = (C +h w)))
27	26	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (z = C -> (E.w e. B (C +h D) = (z +h w) <-> E.w e. B (C +h D) = (C +h w)))
28	27	reuuni2 3811	. . . 4 |- ((C e. A /\ E!z e. A E.w e. B (C +h D) = (z +h w)) -> (E.w e. B (C +h D) = (C +h w) <-> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C))
29	21, 24, 28	syl11anc 524	. . 3 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (E.w e. B (C +h D) = (C +h w) <-> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C))
30	20, 29	mpbid 212	. 2 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> U.{z e. A | E.w e. B (C +h D) = (z +h w)} = C)
31	14, 30	eqtrd 1925	1 |- ((C e. A /\ D e. B /\ (A i^i B) = 0H) -> (S` (C +h D)) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   i^i cin 2592  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   +h cva 10421  SHcsh 10429   +H cph 10432  0Hc0h 10436

This theorem is referenced by:  cdj3lem2a 12008  cdj3lem2b 12009  cdj3lem3 12010  cdj3i 12013

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch0 10758  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain