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Theorem cdj3i 25843
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1  |-  A  e.  SH
cdj3.2  |-  B  e.  SH
cdj3.3  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.4  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
cdj3.5  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
cdj3.6  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdj3i  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, A    x, B, y, z, w, v, u   
v, S, u    v, T, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u)    ps( x, y, z, w, v, u)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables  t  h  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 cdj3.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
31, 2cdj3lem1 25836 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  0H )
4 cdj3.3 . . . . 5  |-  S  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w ) ) )
51, 2, 4cdj3lem2b 25839 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
6 cdj3.5 . . . 4  |-  ( ph  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
75, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ph )
8 cdj3.4 . . . . 5  |-  T  =  ( x  e.  ( A  +H  B ) 
|->  ( iota_ w  e.  B  E. z  e.  A  x  =  ( z  +h  w ) ) )
91, 2, 8cdj3lem3b 25842 . . . 4  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
10 cdj3.6 . . . 4  |-  ( ps  <->  E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) ) )
119, 10sylibr 212 . . 3  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ps )
123, 7, 113jca 1168 . 2  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph  /\  ps ) )
13 breq2 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  (
0  <  v  <->  0  <  f ) )
14 oveq1 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  u ) ) )
1514breq2d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  f  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1615ralbidv 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  f  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
1713, 16anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  f  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
1817cbvrexv 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
196, 18bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  E. f  e.  RR  (
0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) ) )
20 breq2 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  (
0  <  v  <->  0  <  g ) )
21 oveq1 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  g  ->  (
v  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  u ) ) )
2221breq2d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  g  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2322ralbidv 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  g  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) )  <->  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2420, 23anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  g  ->  (
( 0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
2524cbvrexv 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  u ) ) )  <->  E. g  e.  RR  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2610, 25bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) )
2719, 26anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  E. g  e.  RR  ( 0  < 
g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
28 reeanv 2886 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( E. f  e.  RR  ( 0  < 
f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
) )  /\  E. g  e.  RR  (
0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
2927, 28bitr4i 252 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  <->  E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) ) )
30 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  <->  ( ( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) ) )
31 addgt0 9823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( 0  < 
f  /\  0  <  g ) )  ->  0  <  ( f  +  g ) )
3231ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
f  /\  0  <  g )  ->  0  <  ( f  +  g ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  f  /\  0  <  g )  -> 
0  <  ( f  +  g ) ) )
341, 2shsvai 24765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ( A  +H  B ) )
35 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( S `  u )  =  ( S `  ( t  +h  h
) ) )
3635fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( S `  u ) )  =  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) ) )
37 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  u )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
3837oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
f  x.  ( normh `  u ) )  =  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
3936, 38breq12d 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4039rspcv 3067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
41 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( t  +h  h
) ) )
4241fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  ( normh `  ( T `  u ) )  =  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) ) )
4337oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
g  x.  ( normh `  u ) )  =  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
4442, 43breq12d 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  +h  h )  ->  (
( normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  <-> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4544rspcv 3067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( T `  u ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  u ) )  ->  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
4640, 45anim12d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ( A  +H  B )  ->  (
( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4734, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
491sheli 24614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  A  ->  t  e.  ~H )
50 normcl 24525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  A  ->  ( normh `  t )  e.  RR )
522sheli 24614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  ->  h  e.  ~H )
53 normcl 24525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ~H  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  B  ->  ( normh `  h )  e.  RR )
5551, 54anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR ) )
57 hvaddcl 24412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  h  e.  ~H )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
5849, 52, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( t  +h  h
)  e.  ~H )
59 normcl 24525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  +h  h )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )
61 remulcl 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6260, 61sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6362adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
64 remulcl 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  RR )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6560, 64sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  RR  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR )
6665adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR )
67 le2add 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( normh `  t
)  e.  RR  /\  ( normh `  h )  e.  RR )  /\  (
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  e.  RR  /\  (
g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6856, 63, 66, 67syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
6968adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
701, 2, 4cdj3lem2 25837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( S `  (
t  +h  h ) )  =  t )
7170fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  t )
)
7271breq1d 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  t )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
731, 2, 8cdj3lem3 25840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( T `  (
t  +h  h ) )  =  h )
7473fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( normh `  h )
)
7574breq1d 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
7672, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
77763expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( (
( normh `  ( S `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7877ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  (
( ( normh `  ( S `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h ) ) )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
7978adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  <->  ( ( normh `  t )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  h )  <_  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
80 recn 9370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
81 recn 9370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
8260recnd 9410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )
83 adddir 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  ( normh `  ( t  +h  h ) )  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  (
t  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
85843expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  =  ( ( f  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
8685breq2d 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8786adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  +  ( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) ) )
8869, 79, 873imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( ( normh `  ( S `  (
t  +h  h ) ) )  <_  (
f  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  /\  ( normh `  ( T `  ( t  +h  h
) ) )  <_ 
( g  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
8948, 88syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  /\  ( t  e.  A  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) ) )
9089ralrimdvva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( ( A. u  e.  ( A  +H  B ) (
normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) )  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) )  ->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) )
91 readdcl 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  e.  RR )
92 breq2 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
0  <  v  <->  0  <  ( f  +  g ) ) )
93 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  t )
)
9493oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  y
) ) )
95 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +h  y )  =  ( t  +h  y ) )
9695fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )
9796oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) )
9894, 97breq12d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  h )
)
10099oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
( normh `  t )  +  ( normh `  y
) )  =  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h
) ) )
101 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  h  ->  (
t  +h  y )  =  ( t  +h  h ) )
102101fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  h  ->  ( normh `  ( t  +h  y ) )  =  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )
103102oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  h  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  y
) ) )  =  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
104100, 103breq12d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  h  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  y ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
10598, 104cbvral2v 2953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
106 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
v  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) )  =  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )
107106breq2d 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <-> 
( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
1081072ralbidv 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
109105, 108syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )  <->  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t
)  +  ( normh `  h ) )  <_ 
( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )
11092, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f  +  g )  ->  (
( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) )  <->  ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) ) ) )
111110rspcev 3071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  +  g )  e.  RR  /\  ( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
112111ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  +  g )  e.  RR  ->  (
( 0  <  (
f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  (
normh `  h ) )  <_  ( ( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11391, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  ( ( normh `  t )  +  ( normh `  h )
)  <_  ( (
f  +  g )  x.  ( normh `  (
t  +h  h ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
114113adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <  ( f  +  g )  /\  A. t  e.  A  A. h  e.  B  (
( normh `  t )  +  ( normh `  h
) )  <_  (
( f  +  g )  x.  ( normh `  ( t  +h  h
) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11533, 90, 114syl2and 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  0  <  g )  /\  ( A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( S `  u )
)  <_  ( f  x.  ( normh `  u )
)  /\  A. u  e.  ( A  +H  B
) ( normh `  ( T `  u )
)  <_  ( g  x.  ( normh `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11630, 115syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  ->  ( (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
117116rexlimdvva 2846 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  ( E. f  e.  RR  E. g  e.  RR  (
( 0  <  f  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( S `  u ) )  <_ 
( f  x.  ( normh `  u ) ) )  /\  ( 0  <  g  /\  A. u  e.  ( A  +H  B ) ( normh `  ( T `  u
) )  <_  (
g  x.  ( normh `  u ) ) ) )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
11829, 117syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) )  <_ 
( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) ) )
1191183impib 1185 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  0H  /\  ph 
/\  ps )  ->  E. v  e.  RR  ( 0  < 
v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( normh `  x )  +  ( normh `  y )
)  <_  ( v  x.  ( normh `  ( x  +h  y ) ) ) ) )
12012, 119impbii 188 1  |-  ( E. v  e.  RR  (
0  <  v  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( normh `  x )  +  ( normh `  y
) )  <_  (
v  x.  ( normh `  ( x  +h  y
) ) ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  =  0H  /\  ph 
/\  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3325   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   ` cfv 5416   iota_crio 6049  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417   ~Hchil 24319    +h cva 24320   normhcno 24323   SHcsh 24328    +H cph 24331   0Hc0h 24335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his3 24484  ax-his4 24485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-grpo 23676  df-ablo 23767  df-hnorm 24368  df-hvsub 24371  df-sh 24607  df-ch0 24654  df-shs 24709
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