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Theorem cdj1i 28072
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj1i  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, v, B, y, z, w
Allowed substitution hint:    A( v)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 10080 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  ->  w  =/=  0 )
2 rereccl 10326 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
31, 2syldan 472 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
43adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
1  /  w )  e.  RR )
5 recgt0 10450 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
0  <  ( 1  /  w ) )
65adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  w
) )
7 1red 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
8 1re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
9 neg1cn 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  CC
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  B  e.  SH
1110sheli 26853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
12 hvmulcl 26652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
139, 11, 12sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
14 normcl 26764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1615adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
17 readdcl 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
188, 16, 17sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
2120sheli 26853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
22 hvsubcl 26656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
2321, 11, 22syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
24 normcl 26764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  -h  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
26 remulcl 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2725, 26sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2827anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
2928adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
30 normge0 26765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
32 addge01 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
338, 32mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
3433biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  ->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3515, 31, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  1  <_  ( 1  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3635ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
37 shmulcl 26857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B
)
3810, 9, 37mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B )
39 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  v )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
4039oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
41 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
y  +h  v )  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
4241fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  ( y  +h  v ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
4342oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4440, 43breq12d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4544rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  B  -> 
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4746imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  B  /\  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4847ad2ant2lr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
49 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( normh `  y
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5049eqcoms 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5150ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
52 hvsubval 26655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5321, 11, 52syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5453fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5554oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5655adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5848, 51, 573brtr4d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
597, 19, 29, 36, 58letrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
6059ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
6160adantllr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
62 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  RR )
6323adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
y  -h  z )  e.  ~H )
6463, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
6562, 64, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
66 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  0  <  w )
67 lediv1 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
688, 67mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
6965, 62, 66, 68syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
7061, 69sylibd 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  ( 1  /  w )  <_  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) ) )
7170imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) )
7225recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
7372adantll 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
74 recn 9630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
7574ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  CC )
761ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  =/=  0 )
7773, 75, 76divcan3d 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w )  =  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )
7877adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w )  =  (
normh `  ( y  -h  z ) ) )
7971, 78breqtrd 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) )
8079exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8180com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8281ralrimdv 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8382ralimdva 2833 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8483impr 623 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
854, 6, 84jca32 537 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
8685ex 435 . . 3  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  ( (
1  /  w )  e.  RR  /\  (
0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) ) )
87 breq2 4424 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( 1  /  w ) ) )
88 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
x  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) )  <->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
8988imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
90892ralbidv 2869 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9187, 90anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) )  <->  ( 0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) )
9291rspcev 3182 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9386, 92syl6 34 . 2  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
9493rexlimiv 2911 1  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677   -ucneg 9862    / cdiv 10270   ~Hchil 26558    +h cva 26559    .h csm 26560   normhcno 26562    -h cmv 26564   SHcsh 26567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-hilex 26638  ax-hfvadd 26639  ax-hv0cl 26642  ax-hfvmul 26644  ax-hvmul0 26649  ax-hfi 26718  ax-his1 26721  ax-his3 26723  ax-his4 26724
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-hnorm 26607  df-hvsub 26610  df-sh 26846
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