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Theorem cdj1i 23889
Description: Two ways to express " A and  B are completely disjoint subspaces." (1) => (2) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 21-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj1.1  |-  A  e.  SH
cdj1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
cdj1i  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, v, B, y, z, w
Allowed substitution hint:    A( v)

Proof of Theorem cdj1i
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 9449 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  ->  w  =/=  0 )
2 rereccl 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
31, 2syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( 1  /  w
)  e.  RR )
43adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
1  /  w )  e.  RR )
5 recgt0 9810 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
0  <  ( 1  /  w ) )
65adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  w
) )
7 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
9 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  CC
10 cdj1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  B  e.  SH
1110sheli 22669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
12 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
139, 11, 12sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  ~H )
14 normcl 22580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )
17 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
187, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  e.  RR )
20 cdj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  A  e.  SH
2120sheli 22669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
22 hvsubcl 22473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
2321, 11, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ~H )
24 normcl 22580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  -h  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
26 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2725, 26sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
2827anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR )
30 normge0 22581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
32 addge01 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
337, 32mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  <->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
3433biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( normh `  ( -u 1  .h  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  ->  1  <_  (
1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3515, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  1  <_  ( 1  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
3635ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
37 shmulcl 22673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  B )  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B
)
3810, 9, 37mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( -u 1  .h  z )  e.  B )
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  v )  =  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )
4039oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
41 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
y  +h  v )  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
4241fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( normh `  ( y  +h  v ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
4342oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4440, 43breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( -u 1  .h  z )  ->  (
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  <-> 
( ( normh `  y
)  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4544rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 1  .h  z
)  e.  B  -> 
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4638, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) ) )
4746imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  B  /\  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
4847ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
49 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( normh `  y
)  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5049eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
normh `  y )  =  1  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5150ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  =  ( ( normh `  y )  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
52 hvsubval 22472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5321, 11, 52syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  =  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
5453fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  =  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) )
5554oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5655adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  =  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  ( -u 1  .h  z ) ) ) ) )
5848, 51, 573brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  +  ( normh `  ( -u 1  .h  z ) ) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
598, 19, 29, 36, 58letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
6160adantllr 700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  1  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
62 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  RR )
6323adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
y  -h  z )  e.  ~H )
6463, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  RR )
6562, 64, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  e.  RR )
66 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  0  <  w )
67 lediv1 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
687, 67mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  e.  RR  /\  (
w  e.  RR  /\  0  <  w ) )  ->  ( 1  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
6965, 62, 66, 68syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
1  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  <-> 
( 1  /  w
)  <_  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w ) ) )
7061, 69sylibd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 )  ->  ( 1  /  w )  <_  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) ) )
7170imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( ( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w ) )
7225recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
7372adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  ( normh `  ( y  -h  z ) )  e.  CC )
74 recn 9036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
7574ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  e.  CC )
761ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  w  =/=  0 )
7773, 75, 76divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  < 
w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  ->  (
( w  x.  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )  /  w )  =  ( normh `  ( y  -h  z ) ) )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( (
w  x.  ( normh `  ( y  -h  z
) ) )  /  w )  =  (
normh `  ( y  -h  z ) ) )
7971, 78breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  B )  /\  ( A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  /\  ( normh `  y
)  =  1 ) )  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) )
8079exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8180com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) ) )
8281ralrimdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  /\  y  e.  A
)  ->  ( A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8382ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  0  <  w )  -> 
( A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y )  +  (
normh `  v ) )  <_  ( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  -> 
( 1  /  w
)  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) ) ) ) )
8483impr 603 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
854, 6, 84jca32 522 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
8685ex 424 . . 3  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  ( (
1  /  w )  e.  RR  /\  (
0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) ) )
87 breq2 4176 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( 1  /  w ) ) )
88 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
x  <_  ( normh `  ( y  -h  z
) )  <->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) )
8988imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
90892ralbidv 2708 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_ 
( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9187, 90anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  /  w )  ->  (
( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) )  <->  ( 0  <  ( 1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  (
( normh `  y )  =  1  ->  (
1  /  w )  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) ) )
9291rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  w
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
1  /  w )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  ( 1  /  w )  <_  ( normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) )
9386, 92syl6 31 . 2  |-  ( w  e.  RR  ->  (
( 0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  ( ( normh `  y
)  +  ( normh `  v ) )  <_ 
( w  x.  ( normh `  ( y  +h  v ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  < 
x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y )  =  1  ->  x  <_  (
normh `  ( y  -h  z ) ) ) ) ) )
9493rexlimiv 2784 1  |-  ( E. w  e.  RR  (
0  <  w  /\  A. y  e.  A  A. v  e.  B  (
( normh `  y )  +  ( normh `  v
) )  <_  (
w  x.  ( normh `  ( y  +h  v
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <  x  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ( ( normh `  y
)  =  1  ->  x  <_  ( normh `  (
y  -h  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248    / cdiv 9633   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   normhcno 22379    -h cmv 22381   SHcsh 22384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hv0cl 22459  ax-hfvmul 22461  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-hnorm 22424  df-hvsub 22427  df-sh 22662
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