Theorem cdaval 6067

Description: Value of cardinal addition. Definition of cardinal sum in [Mendelson] p. 258.

Assertion

Ref	Expression
cdaval	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))

Proof of Theorem cdaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 3495	. . . . . 6 |- {(/)} e. _V
2		xpexg 4095	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ {(/)} e. _V) -> (A X. {(/)}) e. _V)
3	1, 2	mpan2 760	. . . . 5 |- (A e. _V -> (A X. {(/)}) e. _V)
4		snex 3492	. . . . . 6 |- {1o} e. _V
5		xpexg 4095	. . . . . 6 |- ((B e. _V /\ {1o} e. _V) -> (B X. {1o}) e. _V)
6	4, 5	mpan2 760	. . . . 5 |- (B e. _V -> (B X. {1o}) e. _V)
7	3, 6	anim12i 360	. . . 4 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> ((A X. {(/)}) e. _V /\ (B X. {1o}) e. _V))
8		unexb 3797	. . . 4 |- (((A X. {(/)}) e. _V /\ (B X. {1o}) e. _V) <-> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) e. _V)
9	7, 8	sylib 215	. . 3 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) e. _V)
10		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (x = A -> (x X. {(/)}) = (A X. {(/)}))
11	10	uneq1d 2754	. . . 4 |- (x = A -> ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o})) = ((A X. {(/)}) u. (y X. {1o})))
12		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (y = B -> (y X. {1o}) = (B X. {1o}))
13	12	uneq2d 2755	. . . 4 |- (y = B -> ((A X. {(/)}) u. (y X. {1o})) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
14		df-cda 6066	. . . . 5 |- +c = {<.<.x, y>., z>. | z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o}))}
15		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
16		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
17	15, 16	pm3.2i 307	. . . . . . 7 |- (x e. _V /\ y e. _V)
18	17	biantrur 794	. . . . . 6 |- (z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o})) <-> ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o}))))
19	18	oprabbii 4923	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., z>. | z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o}))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o})))}
20	14, 19	eqtri 1908	. . . 4 |- +c = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = ((x X. {(/)}) u. (y X. {1o})))}
21	11, 13, 20	oprabval2g 4956	. . 3 |- ((A e. _V /\ B e. _V /\ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) e. _V) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
22	9, 21	mpd3an3 1192	. 2 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
23		elisset 2299	. 2 |- (A e. C -> A e. _V)
24		elisset 2299	. 2 |- (B e. D -> B e. _V)
25	22, 23, 24	syl2an 503	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591  (/)c0 2875  {csn 3044   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  {copab2 4885  1oc1o 5172   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  cdavali 6068  cdafi 6086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-cda 6066

Copyright terms: Public domain