Theorem cdaun 6070

Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	|- A e. _V
cdaval.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
cdaun	|- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem cdaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xp01disj 5188	. . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
2		cdaval.1	. . . . 5 |- A e. _V
3		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	2, 3	xpsnen 5494	. . . 4 |- (A X. {(/)}) ~~ A
5		cdaval.2	. . . . 5 |- B e. _V
6		1on 5182	. . . . . 6 |- 1o e. On
7	6	elisseti 2301	. . . . 5 |- 1o e. _V
8	5, 7	xpsnen 5494	. . . 4 |- (B X. {1o}) ~~ B
9		unen 5493	. . . 4 |- ((((A X. {(/)}) ~~ A /\ (B X. {1o}) ~~ B) /\ (((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/))) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
10	4, 8, 9	mpanl12 773	. . 3 |- ((((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/) /\ (A i^i B) = (/)) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
11	1, 10	mpan 759	. 2 |- ((A i^i B) = (/) -> ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})) ~~ (A u. B))
12	2, 5	cdavali 6068	. 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
13	11, 12	syl5eqbr 3370	1 |- ((A i^i B) = (/) -> (A +c B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  Oncon0 3657   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   ~~ cen 5423   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  cdaung 6071

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1o 5177  df-en 5427  df-cda 6066

Copyright terms: Public domain