MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cdainflem 8639
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 7858 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  u.  B )  ~<  om )
2 sdomnen 7616 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~<  om  ->  -.  ( A  u.  B )  ~~  om )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  -.  ( A  u.  B
)  ~~  om )
43con2i 124 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om ) )
5 ianor 496 . . 3  |-  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  <->  ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om ) )
6 relen 7592 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~~
76brrelexi 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A  u.  B )  e. 
_V )
8 ssun1 3588 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 ssdomg 7633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( A  u.  B )  ->  A  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  ( A  u.  B ) )
11 domentr 7646 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  A  ~<_  om )
1210, 11mpancom 682 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  A  ~<_  om )
1312anim1i 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  ( A  ~<_  om  /\  -.  A  ~<  om ) )
14 bren2 7618 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~<  om ) )
1513, 14sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  A  ~<  om )  ->  A  ~~  om )
1615ex 441 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A 
~~  om ) )
17 ssun2 3589 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
18 ssdomg 7633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( B  C_  ( A  u.  B )  ->  B  ~<_  ( A  u.  B
) ) )
197, 17, 18mpisyl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  ( A  u.  B ) )
20 domentr 7646 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ~<_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2119, 20mpancom 682 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  B  ~<_  om )
2221anim1i 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  ( B  ~<_  om  /\  -.  B  ~<  om ) )
23 bren2 7618 . . . . . 6  |-  ( B 
~~  om  <->  ( B  ~<_  om 
/\  -.  B  ~<  om ) )
2422, 23sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  ~~  om  /\  -.  B  ~<  om )  ->  B  ~~  om )
2524ex 441 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  B  ~<  om  ->  B 
~~  om ) )
2616, 25orim12d 856 . . 3  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( ( -.  A  ~<  om  \/  -.  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om )
) )
275, 26syl5bi 225 . 2  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( -.  ( A  ~<  om  /\  B  ~<  om )  ->  ( A  ~~  om  \/  B  ~~  om ) ) )
284, 27mpd 15 1  |-  ( ( A  u.  B ) 
~~  om  ->  ( A 
~~  om  \/  B  ~~  om ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  cdainf  8640
  Copyright terms: Public domain W3C validator