Theorem cdainf 6087

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
cdainf.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
cdainf	|- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Proof of Theorem cdainf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdainf.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1, 1	cdadom3 6085	. . 3 |- A ~<_ (A +c A)
3		domtr 5474	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ (A +c A)) -> om ~<_ (A +c A))
4	2, 3	mpan2 760	. 2 |- (om ~<_ A -> om ~<_ (A +c A))
5		cdafi 6086	. . . . 5 |- ((A ~< om /\ A ~< om) -> (A +c A) ~< om)
6	5	anidms 480	. . . 4 |- (A ~< om -> (A +c A) ~< om)
7	6	con3i 114	. . 3 |- (-. (A +c A) ~< om -> -. A ~< om)
8		omex 5733	. . . 4 |- om e. _V
9		oprex 4907	. . . 4 |- (A +c A) e. _V
10		domtri 5989	. . . 4 |- ((om e. _V /\ (A +c A) e. _V) -> (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om))
11	8, 9, 10	mp2an 761	. . 3 |- (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om)
12		domtri 5989	. . . 4 |- ((om e. _V /\ A e. _V) -> (om ~<_ A <-> -. A ~< om))
13	8, 1, 12	mp2an 761	. . 3 |- (om ~<_ A <-> -. A ~< om)
14	7, 11, 13	3imtr4i 236	. 2 |- (om ~<_ (A +c A) -> om ~<_ A)
15	4, 14	impbii 174	1 |- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  omcom 3949  (class class class)co 4884   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  infdif 8837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-cda 6066

Copyright terms: Public domain