MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Unicode version

Theorem cdadom2 7697
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 7696 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C ) )
2 cdacomen 7691 . . 3  |-  ( A  +c  C )  ~~  ( C  +c  A
)
3 cdacomen 7691 . . 3  |-  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
)
4 domen1 6888 . . . 4  |-  ( ( A  +c  C ) 
~~  ( C  +c  A )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( B  +c  C ) ) )
5 domen2 6889 . . . 4  |-  ( ( B  +c  C ) 
~~  ( C  +c  B )  ->  (
( C  +c  A
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
64, 5sylan9bb 683 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  C
)  ~~  ( C  +c  A )  /\  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
) )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
72, 3, 6mp2an 656 . 2  |-  ( ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C
)  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
81, 7sylib 190 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    +c ccda 7677
This theorem is referenced by:  cdalepw  7706  unctb  7715  infcdaabs  7716  infcda  7718  infdif  7719  fin45  7902  canthp1  8156  pwcdandom  8169  gchcdaidm  8170  gchhar  8173  gchpwdom  8176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-1o 6365  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-cda 7678
  Copyright terms: Public domain W3C validator