MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Unicode version

Theorem cdadom2 8023
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 8022 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C ) )
2 cdacomen 8017 . . 3  |-  ( A  +c  C )  ~~  ( C  +c  A
)
3 cdacomen 8017 . . 3  |-  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
)
4 domen1 7208 . . . 4  |-  ( ( A  +c  C ) 
~~  ( C  +c  A )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( B  +c  C ) ) )
5 domen2 7209 . . . 4  |-  ( ( B  +c  C ) 
~~  ( C  +c  B )  ->  (
( C  +c  A
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
64, 5sylan9bb 681 . . 3  |-  ( ( ( A  +c  C
)  ~~  ( C  +c  A )  /\  ( B  +c  C )  ~~  ( C  +c  B
) )  ->  (
( A  +c  C
)  ~<_  ( B  +c  C )  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) ) )
72, 3, 6mp2an 654 . 2  |-  ( ( A  +c  C )  ~<_  ( B  +c  C
)  <->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
81, 7sylib 189 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  +c  A )  ~<_  ( C  +c  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  cdalepw  8032  unctb  8041  infcdaabs  8042  infcda  8044  infdif  8045  fin45  8228  canthp1  8485  pwcdandom  8498  gchcdaidm  8499  gchhar  8502  gchpwdom  8505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator