Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaassen Unicode version

Theorem cdaassen 8018
 Description: Associative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaassen

Proof of Theorem cdaassen
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6
2 0ex 4299 . . . . . 6
3 xpsneng 7152 . . . . . 6
41, 2, 3sylancl 644 . . . . 5
54ensymd 7117 . . . 4
6 simp2 958 . . . . . . . 8
7 snex 4365 . . . . . . . 8
8 xpexg 4948 . . . . . . . 8
96, 7, 8sylancl 644 . . . . . . 7
10 1on 6690 . . . . . . 7
11 xpsneng 7152 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . 6
13 xpsneng 7152 . . . . . . 7
146, 2, 13sylancl 644 . . . . . 6
15 entr 7118 . . . . . 6
1612, 14, 15syl2anc 643 . . . . 5
1716ensymd 7117 . . . 4
18 xp01disj 6699 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
20 cdaenun 8010 . . . 4
215, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . 3
22 simp3 959 . . . . . . 7
23 snex 4365 . . . . . . 7
24 xpexg 4948 . . . . . . 7
2522, 23, 24sylancl 644 . . . . . 6
26 xpsneng 7152 . . . . . 6
2725, 10, 26sylancl 644 . . . . 5
28 xpsneng 7152 . . . . . 6
2922, 10, 28sylancl 644 . . . . 5
30 entr 7118 . . . . 5
3127, 29, 30syl2anc 643 . . . 4
3231ensymd 7117 . . 3
33 indir 3549 . . . . 5
34 xp01disj 6699 . . . . . 6
35 xp01disj 6699 . . . . . . . 8
3635xpeq1i 4857 . . . . . . 7
37 xpindir 4968 . . . . . . 7
38 xp0r 4915 . . . . . . 7
3936, 37, 383eqtr3i 2432 . . . . . 6
4034, 39uneq12i 3459 . . . . 5
41 un0 3612 . . . . 5
4233, 40, 413eqtri 2428 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
44 cdaenun 8010 . . 3
4521, 32, 43, 44syl3anc 1184 . 2
46 ovex 6065 . . . . 5
47 cdaval 8006 . . . . 5
4846, 47mpan2 653 . . . 4
49 cdaval 8006 . . . . . . . 8
5049xpeq1d 4860 . . . . . . 7
51 xpundir 4890 . . . . . . 7
5250, 51syl6eq 2452 . . . . . 6
5352uneq2d 3461 . . . . 5
54 unass 3464 . . . . 5
5553, 54syl6eqr 2454 . . . 4
5648, 55sylan9eq 2456 . . 3
57563impb 1149 . 2
5845, 57breqtrrd 4198 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   cun 3278   cin 3279  c0 3588  csn 3774   class class class wbr 4172  con0 4541   cxp 4835  (class class class)co 6040  c1o 6676   cen 7065   ccda 8003 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-cda 8004
 Copyright terms: Public domain W3C validator