MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda1en Unicode version

Theorem cda1en 7685
Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda1en  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )

Proof of Theorem cda1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 6779 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  A )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  A  ~~  A )
3 ensn1g 6811 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
4 ensym 6796 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A } )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  ~~ 
{ A } )
65adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  1o  ~~  { A } )
7 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  -.  A  e.  A )
8 disjsn 3597 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
97, 8sylibr 205 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
10 cdaenun 7684 . . 3  |-  ( ( A  ~~  A  /\  1o  ~~  { A }  /\  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A }
) )
112, 6, 9, 10syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
12 df-suc 4291 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1311, 12syl6breqr 3960 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    u. cun 3076    i^i cin 3077   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920   suc csuc 4287  (class class class)co 5710   1oc1o 6358    ~~ cen 6746    +c ccda 7677
This theorem is referenced by:  pm110.643ALT  7688  pwsdompw  7714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1o 6365  df-er 6546  df-en 6750  df-cda 7678
  Copyright terms: Public domain W3C validator