MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda1en Unicode version

Theorem cda1en 8011
Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda1en  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )

Proof of Theorem cda1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 7098 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  A )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  A  ~~  A )
3 ensn1g 7131 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
43ensymd 7117 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  ~~ 
{ A } )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  1o  ~~  { A } )
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  -.  A  e.  A )
7 disjsn 3828 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
86, 7sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
9 cdaenun 8010 . . 3  |-  ( ( A  ~~  A  /\  1o  ~~  { A }  /\  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A }
) )
102, 5, 8, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
11 df-suc 4547 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1210, 11syl6breqr 4212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  +c  1o )  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   suc csuc 4543  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    ~~ cen 7065    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  pm110.643ALT  8014  pwsdompw  8040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-cda 8004
  Copyright terms: Public domain W3C validator