MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cctop Structured version   Unicode version

Theorem cctop 20008
Description: The countable complement topology on a set  A. Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4237 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3546 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A
3 sspwuni 4385 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
42, 3mpbi 211 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3476 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A )
6 vex 3084 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 6598 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3985 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A
)
10 uni0c 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
17 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A 
\  z )  ~<_  om 
->  z  =  (/) ) )
2322con1d 127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
2423imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
25 reldom 7580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~<_
2625brrelexi 4891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  z )  ~<_  om  ->  ( A  \  z )  e.  _V )
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  z )  e. 
_V )
28 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  z  e.  y )
29 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
30 sscon 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  U. y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
32 ssdomg 7619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  z )  e.  _V  ->  (
( A  \  U. y )  C_  ( A  \  z )  -> 
( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z ) ) )
3327, 31, 32sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  ( A  \  z
) )
34 domtr 7626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3533, 34sylancom 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3624, 35mpdan 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3736exp31 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  -> 
( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
) )
3837rexlimdv 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
3913, 38syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
4039con1d 127 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  ~<_  om  ->  U. y  =  (/) ) )
4140orrd 379 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) )
42 difeq2 3577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
4342breq1d 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  ~<_  om  <->  ( A  \ 
U. y )  ~<_  om ) )
44 eqeq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4543, 44orbi12d 714 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) 
<->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4645elrab 3229 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( U. y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
479, 41, 46sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
4847ax-gen 1665 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
49 ssinss1 3690 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
506elpw 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
516inex1 4562 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5251elpw 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5349, 50, 523imtr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
5453ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
55 difindi 3727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
56 unctb 8636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  y )  u.  ( A  \  z
) )  ~<_  om )
5755, 56syl5eqbr 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
5857orcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
59 ineq1 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
60 incom 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
61 in0 3788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61eqtri 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
6359, 62syl6eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6463olcd 394 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
65 ineq2 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
66 in0 3788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6765, 66syl6eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6867olcd 394 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6958, 64, 68ccase2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7069ad2ant2l 750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7154, 70jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
72 difeq2 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
7372breq1d 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
y )  ~<_  om )
)
74 eqeq1 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7573, 74orbi12d 714 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7675elrab 3229 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7776, 19anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) ) )
78 difeq2 3577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7978breq1d 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
)
80 eqeq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
8179, 80orbi12d 714 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8281elrab 3229 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8371, 77, 823imtr4i 269 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
8483rgen2a 2852 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }
8548, 84pm3.2i 456 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
86 pwexg 4605 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
87 rabexg 4571 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
88 istopg 19912 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top 
<->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8986, 87, 883syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
9085, 89mpbiri 236 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
91 pwidg 3992 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
92 omex 8151 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
93920dom 7705 . . . . . . 7  |-  (/)  ~<_  om
9493orci 391 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) )
9594a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) )
96 difeq2 3577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
97 difid 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9896, 97syl6eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9998breq1d 4430 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  (/)  ~<_  om ) )
100 eqeq1 2426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
10199, 100orbi12d 714 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
102101elrab 3229 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
10391, 95, 102sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
104 elssuni 4245 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  A 
C_  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
105103, 104syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
1064a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
107105, 106eqssd 3481 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
108 istopon 19927 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) )
10990, 107, 108sylanbrc 668 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   ` cfv 5598   omcom 6703    ~<_ cdom 7572   Topctop 19904  TopOnctopon 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-top 19908  df-topon 19910
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator