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Theorem cctop 17025
Description: The countable complement topology on a set  A. Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3996 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3388 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A
3 sspwuni 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
42, 3mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3320 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A )
6 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 4664 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3765 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A
)
10 uni0c 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2677 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
17 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A 
\  z )  ~<_  om 
->  z  =  (/) ) )
2322con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
)
2423imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \ 
z )  ~<_  om )
25 reldom 7074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~<_
2625brrelexi 4877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  \  z )  ~<_  om  ->  ( A  \  z )  e.  _V )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  z )  e. 
_V )
28 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  z  e.  y )
29 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
30 sscon 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  U. y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
3128, 29, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
32 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  z )  e.  _V  ->  (
( A  \  U. y )  C_  ( A  \  z )  -> 
( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z ) ) )
3327, 31, 32sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  ( A  \  z
) )
34 domtr 7119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  U. y )  ~<_  ( A 
\  z )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3533, 34sylancom 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  /\  ( A  \  z
)  ~<_  om )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3624, 35mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
3736exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  -> 
( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
) )
3837rexlimdv 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
3913, 38syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  ~<_  om )
)
4039con1d 118 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  ~<_  om  ->  U. y  =  (/) ) )
4140orrd 368 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) )
42 difeq2 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
4342breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  ~<_  om  <->  ( A  \ 
U. y )  ~<_  om ) )
44 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4543, 44orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) 
<->  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4645elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( U. y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \  U. y )  ~<_  om  \/  U. y  =  (/) ) ) )
479, 41, 46sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
4847ax-gen 1552 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
49 ssinss1 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
506elpw 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
516inex1 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5251elpw 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5349, 50, 523imtr4i 258 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
5453ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
55 difindi 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
56 unctb 8041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  y )  u.  ( A  \  z
) )  ~<_  om )
5755, 56syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
5857orcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  ~<_  om  /\  ( A  \  z )  ~<_  om )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
59 ineq1 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
60 incom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
61 in0 3613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
6260, 61eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
6359, 62syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6463olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
65 ineq2 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
66 in0 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6765, 66syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6867olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6958, 64, 68ccase2 915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7069ad2ant2l 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7154, 70jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
72 difeq2 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
7372breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
y )  ~<_  om )
)
74 eqeq1 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7573, 74orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7675elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) ) )
7776, 19anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  y
)  ~<_  om  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  ~<_  om  \/  z  =  (/) ) ) ) )
78 difeq2 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7978breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  ~<_  om )
)
80 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
8179, 80orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  ~<_  om  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8281elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  ~<_  om  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
8371, 77, 823imtr4i 258 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
8483rgen2a 2732 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }
8548, 84pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
86 pwexg 4343 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
87 rabexg 4313 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
88 istopg 16923 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top 
<->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8986, 87, 883syl 19 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
9085, 89mpbiri 225 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
91 pwidg 3771 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
92 omex 7554 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
93920dom 7196 . . . . . . 7  |-  (/)  ~<_  om
9493orci 380 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) )
9594a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) )
96 difeq2 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
97 difid 3656 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9896, 97syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9998breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  ~<_  om  <->  (/)  ~<_  om ) )
100 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
10199, 100orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
102101elrab 3052 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  <->  ( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  ~<_  om  \/  A  =  (/) ) ) )
10391, 95, 102sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
104 elssuni 4003 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  ->  A 
C_  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
105103, 104syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
1064a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  C_  A )
107105, 106eqssd 3325 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } )
108 istopon 16945 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) } ) )
10990, 107, 108sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<_  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   omcom 4804   ` cfv 5413    ~<_ cdom 7066   Topctop 16913  TopOnctopon 16914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-top 16918  df-topon 16921
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