MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Unicode version

Theorem cchhllem 24763
Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
cchhllem.2  |-  E  = Slot 
N
cchhllem.3  |-  N  e.  NN
cchhllem.4  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
Assertion
Ref Expression
cchhllem  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    E( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 cchhllem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 15105 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 cchhllem.4 . . . . 5  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
5 5lt8 10799 . . . . . . . . 9  |-  5  <  8
62nnrei 10618 . . . . . . . . . 10  |-  N  e.  RR
7 5re 10688 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  RR
8 8re 10694 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  RR
96, 7, 8lttri 9759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <  5  /\  5  <  8 )  ->  N  <  8
)
105, 9mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  5  ->  N  <  8 )
116, 8ltnei 9757 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  8  ->  8  =/=  N )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  <  5  ->  8  =/=  N )
1312necomd 2702 . . . . . 6  |-  ( N  <  5  ->  N  =/=  8 )
148, 6ltnei 9757 . . . . . 6  |-  ( 8  <  N  ->  N  =/=  8 )
1513, 14jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  <  5  \/  8  <  N )  ->  N  =/=  8
)
164, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  N  =/=  8
171, 2ndxarg 15104 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
18 ipndx 15225 . . . . 5  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
1917, 18neeq12i 2720 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( .i `  ndx ) 
<->  N  =/=  8 )
2016, 19mpbir 212 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( .i `  ndx )
213, 20setsnid 15128 . 2  |-  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )  =  ( E `
 ( ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
22 eqidd 2430 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR )  =  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
23 ax-resscn 9595 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
24 cnfldbas 18909 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2523, 24sseqtri 3502 . . . . 5  |-  RR  C_  ( Base ` fld )
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  ( Base ` fld ) )
2722, 26, 1, 2, 4sralem 18335 . . 3  |-  ( T. 
->  ( E ` fld )  =  ( E `  ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) ) )
2827trud 1446 . 2  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
29 cchhl.c . . 3  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
3029fveq2i 5884 . 2  |-  ( E `
 C )  =  ( E `  (
( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
3121, 28, 303eqtr4i 2468 1  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 369    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870    =/= wne 2625    C_ wss 3442   <.cop 4008   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   CCcc 9536   RRcr 9537    x. cmul 9543    < clt 9674   NNcn 10609   5c5 10662   8c8 10665   *ccj 13138   ndxcnx 15081   sSet csts 15082  Slot cslot 15083   Basecbs 15084   .icip 15157  subringAlg csra 18326  ℂfldccnfld 18905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-sra 18330  df-cnfld 18906
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator