MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Unicode version

Theorem cchhllem 24852
Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
cchhllem.2  |-  E  = Slot 
N
cchhllem.3  |-  N  e.  NN
cchhllem.4  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
Assertion
Ref Expression
cchhllem  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    E( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 cchhllem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 15078 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 cchhllem.4 . . . . 5  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
5 5lt8 10743 . . . . . . . . 9  |-  5  <  8
62nnrei 10562 . . . . . . . . . 10  |-  N  e.  RR
7 5re 10632 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  RR
8 8re 10638 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  RR
96, 7, 8lttri 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <  5  /\  5  <  8 )  ->  N  <  8
)
105, 9mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  5  ->  N  <  8 )
116, 8ltnei 9702 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  8  ->  8  =/=  N )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  <  5  ->  8  =/=  N )
1312necomd 2650 . . . . . 6  |-  ( N  <  5  ->  N  =/=  8 )
148, 6ltnei 9702 . . . . . 6  |-  ( 8  <  N  ->  N  =/=  8 )
1513, 14jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( N  <  5  \/  8  <  N )  ->  N  =/=  8
)
164, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  N  =/=  8
171, 2ndxarg 15077 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
18 ipndx 15202 . . . . 5  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
1917, 18neeq12i 2661 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( .i `  ndx ) 
<->  N  =/=  8 )
2016, 19mpbir 212 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( .i `  ndx )
213, 20setsnid 15101 . 2  |-  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )  =  ( E `
 ( ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
22 eqidd 2423 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR )  =  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
23 ax-resscn 9540 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
24 cnfldbas 18910 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2523, 24sseqtri 3432 . . . . 5  |-  RR  C_  ( Base ` fld )
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  ( Base ` fld ) )
2722, 26, 1, 2, 4sralem 18336 . . 3  |-  ( T. 
->  ( E ` fld )  =  ( E `  ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) ) )
2827trud 1446 . 2  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
29 cchhl.c . . 3  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
3029fveq2i 5821 . 2  |-  ( E `
 C )  =  ( E `  (
( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
3121, 28, 303eqtr4i 2454 1  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 369    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2593    C_ wss 3372   <.cop 3940   class class class wbr 4359   ` cfv 5537  (class class class)co 6242    |-> cmpt2 6244   CCcc 9481   RRcr 9482    x. cmul 9488    < clt 9619   NNcn 10553   5c5 10606   8c8 10609   *ccj 13096   ndxcnx 15054   sSet csts 15055  Slot cslot 15056   Basecbs 15057   .icip 15131  subringAlg csra 18327  ℂfldccnfld 18906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-fz 11729  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-sra 18331  df-cnfld 18907
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator