MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Unicode version

Theorem cchhllem 23131
Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
cchhllem.2  |-  E  = Slot 
N
cchhllem.3  |-  N  e.  NN
cchhllem.4  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
Assertion
Ref Expression
cchhllem  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    E( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 cchhllem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 14193 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 cchhllem.4 . . . . 5  |-  ( N  <  5  \/  8  <  N )
5 5lt8 10509 . . . . . . . . 9  |-  5  <  8
62nnrei 10329 . . . . . . . . . 10  |-  N  e.  RR
7 5re 10398 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  RR
8 8re 10404 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  RR
96, 7, 8lttri 9498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <  5  /\  5  <  8 )  ->  N  <  8
)
105, 9mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  5  ->  N  <  8 )
116, 8ltnei 9496 . . . . . . . 8  |-  ( N  <  8  ->  8  =/=  N )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  <  5  ->  8  =/=  N )
1312necomd 2693 . . . . . 6  |-  ( N  <  5  ->  N  =/=  8 )
148, 6ltnei 9496 . . . . . 6  |-  ( 8  <  N  ->  N  =/=  8 )
1513, 14jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( N  <  5  \/  8  <  N )  ->  N  =/=  8
)
164, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  N  =/=  8
171, 2ndxarg 14192 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
18 ipndx 14305 . . . . 5  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
1917, 18neeq12i 2618 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( .i `  ndx ) 
<->  N  =/=  8 )
2016, 19mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( .i `  ndx )
213, 20setsnid 14214 . 2  |-  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )  =  ( E `
 ( ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
22 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR )  =  ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
23 ax-resscn 9337 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
24 cnfldbas 17820 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2523, 24sseqtri 3386 . . . . 5  |-  RR  C_  ( Base ` fld )
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  ( Base ` fld ) )
2722, 26, 1, 2, 4sralem 17256 . . 3  |-  ( T. 
->  ( E ` fld )  =  ( E `  ( (subringAlg  ` fld ) `
 RR ) ) )
2827trud 1378 . 2  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) )
29 cchhl.c . . 3  |-  C  =  ( ( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
)
3029fveq2i 5692 . 2  |-  ( E `
 C )  =  ( E `  (
( (subringAlg  ` fld ) `  RR ) sSet  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) >.
) )
3121, 28, 303eqtr4i 2471 1  |-  ( E `
fld )  =  ( E `
 C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2604    C_ wss 3326   <.cop 3881   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   CCcc 9278   RRcr 9279    x. cmul 9285    < clt 9416   NNcn 10320   5c5 10372   8c8 10375   *ccj 12583   ndxcnx 14169   sSet csts 14170  Slot cslot 14171   Basecbs 14172   .icip 14241  subringAlg csra 17247  ℂfldccnfld 17816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-sra 17251  df-cnfld 17817
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator