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Theorem ccatsymb 12554
Description: The symbol at a given position in a concatenated word. (Contributed by AV, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccatsymb  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  if ( I  <  ( # `
 A ) ,  ( A `  I
) ,  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem ccatsymb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
213adant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
32ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `  A ) )  ->  I  <  ( # `  A
) )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  ( # `  A
) ) )
6 simp3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  I  e.  ZZ )
7 0zd 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
8 lencl 12517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
98nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
1093ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
116, 7, 103jca 1171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 A )  e.  ZZ ) )
1211ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( I  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ ) )
13 elfzo 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 A )  e.  ZZ )  ->  (
I  e.  ( 0..^ ( # `  A
) )  <->  ( 0  <_  I  /\  I  <  ( # `  A
) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( # `  A ) )  <->  ( 0  <_  I  /\  I  <  ( # `  A
) ) ) )
155, 14mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
16 df-3an 970 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  <-> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ) )
173, 15, 16sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ) )
18 ccatval1 12549 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( A `
 I ) )
1918eqcomd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) )
2017, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  I  /\  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) )
2120ex 434 . . . 4  |-  ( 0  <_  I  ->  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) ) )
22 zre 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
23 0red 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
2422, 23jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  e.  RR  /\  0  e.  RR )
)
25243ad2ant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  e.  RR  /\  0  e.  RR )
)
26 ltnle 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( I  <  0  <->  -.  0  <_  I )
)
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  <  0  <->  -.  0  <_  I ) )
28 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
29283adant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  I  <  0 )
3231orcd 392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( I  <  0  \/  ( # `  A )  <_  I
) )
33 wrdsymb0 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  <  0  \/  ( # `  A )  <_  I
)  ->  ( A `  I )  =  (/) ) )
3430, 32, 33sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( A `  I )  =  (/) )
35 ccatcl 12547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V )
36353adant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V
)
3736, 6jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
3931orcd 392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( I  <  0  \/  ( # `  ( A concat  B ) )  <_  I )
)
40 wrdsymb0 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( I  <  0  \/  ( # `  ( A concat  B ) )  <_  I )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  (/) ) )
4138, 39, 40sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  (/) )
4234, 41eqtr4d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  0
)  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) )
4342ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  <  0  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `  I
) ) )
4427, 43sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( -.  0  <_  I  -> 
( A `  I
)  =  ( ( A concat  B ) `  I ) ) )
4544adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `  A ) )  -> 
( -.  0  <_  I  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) ) )
4645com12 31 . . . 4  |-  ( -.  0  <_  I  ->  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( A `  I )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) ) )
4721, 46pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  I  <  ( # `  A ) )  -> 
( A `  I
)  =  ( ( A concat  B ) `  I ) )
482ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
498nn0red 10844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
50 lenlt 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( ( # `  A
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  A
) ) )
5149, 22, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  A
)  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  A
) ) )
52513adant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( # `  A )  <_  I  <->  -.  I  <  ( # `  A
) ) )
5352biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( # `  A
)  <_  I )
5453anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( I  <  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  <_  I ) )
5554ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( # `
 A )  <_  I  /\  I  <  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
56 lencl 12517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
5756nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
58 zaddcl 10894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  e.  ZZ )
599, 57, 58syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  e.  ZZ )
60593adant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ )
616, 10, 603jca 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ ) )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( I  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  e.  ZZ ) )
63 elfzo 11790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  <->  ( ( # `
 A )  <_  I  /\  I  <  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  <->  ( ( # `
 A )  <_  I  /\  I  <  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
6555, 64mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
66 df-3an 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
6748, 65, 66sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
68 ccatval2 12550 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A concat  B
) `  I )  =  ( B `  ( I  -  ( # `
 A ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  /\  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) )
7069ex 434 . . . . 5  |-  ( I  <  ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
)  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) ) )
7156nn0red 10844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
72 readdcl 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  e.  RR )
7349, 71, 72syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  e.  RR )
74733adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  e.  RR )
75223ad2ant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  I  e.  RR )
7674, 75lenltd 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I 
<->  -.  I  <  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
7737adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ ) )
78 ccatlen 12548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  ( A concat  B ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
79783adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( A concat  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  ( # `
 ( A concat  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
( # `  A )  +  ( # `  B
) )  <_  I
)
8280, 81eqbrtrd 4462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  ( # `
 ( A concat  B
) )  <_  I
)
8382olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
I  <  0  \/  ( # `  ( A concat  B ) )  <_  I ) )
8477, 83, 40sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  (/) )
85 simp2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  B  e. Word  V )
86 zsubcl 10896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  -> 
( I  -  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
879, 86sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  A  e. Word  V )  ->  ( I  -  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
8887ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  -  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )
89883adant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
I  -  ( # `  A ) )  e.  ZZ )
9085, 89jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( B  e. Word  V  /\  (
I  -  ( # `  A ) )  e.  ZZ ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  ( B  e. Word  V  /\  (
I  -  ( # `  A ) )  e.  ZZ ) )
92 leaddsub2 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  (
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I 
<->  ( # `  B
)  <_  ( I  -  ( # `  A
) ) ) )
9349, 71, 22, 92syl3an 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I 
<->  ( # `  B
)  <_  ( I  -  ( # `  A
) ) ) )
9493biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  ( # `
 B )  <_ 
( I  -  ( # `
 A ) ) )
9594olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
( I  -  ( # `
 A ) )  <  0  \/  ( # `
 B )  <_ 
( I  -  ( # `
 A ) ) ) )
96 wrdsymb0 12529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( I  -  ( # `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( I  -  ( # `  A
) )  <  0  \/  ( # `  B
)  <_  ( I  -  ( # `  A
) ) )  -> 
( B `  (
I  -  ( # `  A ) ) )  =  (/) ) )
9791, 95, 96sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  ( B `  ( I  -  ( # `  A
) ) )  =  (/) )
9884, 97eqtr4d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  ( B `  ( I  -  ( # `  A
) ) ) )
9998ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  <_  I  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) ) )
10076, 99sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( -.  I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  ( B `  ( I  -  ( # `  A
) ) ) ) )
101100adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( -.  I  <  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  -> 
( ( A concat  B
) `  I )  =  ( B `  ( I  -  ( # `
 A ) ) ) ) )
102101com12 31 . . . . 5  |-  ( -.  I  <  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  ->  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  < 
( # `  A ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) ) )
10370, 102pm2.61i 164 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  I
)  =  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) )
104103eqcomd 2470 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  /\  -.  I  <  ( # `
 A ) )  ->  ( B `  ( I  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( ( A concat  B ) `  I ) )
10547, 104ifeqda 3967 . 2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  if ( I  <  ( # `  A ) ,  ( A `  I ) ,  ( B `  ( I  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  ( ( A concat  B ) `
 I ) )
106105eqcomd 2470 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A concat  B ) `  I )  =  if ( I  <  ( # `
 A ) ,  ( A `  I
) ,  ( B `
 ( I  -  ( # `  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3780   ifcif 3934   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   ZZcz 10855  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   concat cconcat 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499
This theorem is referenced by:  lswccatn0lsw  12560  lswccat0lsw  12561  swrdccatin2  12664
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