Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatswrd Structured version   Unicode version

Theorem ccatswrd 12663
 Description: Joining two adjacent subwords makes a longer subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatswrd Word substr concat substr substr

Proof of Theorem ccatswrd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12628 . . . . . 6 Word substr Word
21adantr 465 . . . . 5 Word substr Word
3 swrdcl 12628 . . . . . 6 Word substr Word
43adantr 465 . . . . 5 Word substr Word
5 ccatcl 12575 . . . . 5 substr Word substr Word substr concat substr Word
62, 4, 5syl2anc 661 . . . 4 Word substr concat substr Word
7 wrdf 12535 . . . 4 substr concat substr Word substr concat substr ..^ substr concat substr
8 ffn 5721 . . . 4 substr concat substr ..^ substr concat substr substr concat substr ..^ substr concat substr
96, 7, 83syl 20 . . 3 Word substr concat substr ..^ substr concat substr
10 ccatlen 12576 . . . . . . 7 substr Word substr Word substr concat substr substr substr
112, 4, 10syl2anc 661 . . . . . 6 Word substr concat substr substr substr
12 simpl 457 . . . . . . . . 9 Word Word
13 simpr1 1003 . . . . . . . . 9 Word
14 simpr2 1004 . . . . . . . . . 10 Word
15 simpr3 1005 . . . . . . . . . 10 Word
16 fzass4 11732 . . . . . . . . . . . 12
1716biimpri 206 . . . . . . . . . . 11
1817simpld 459 . . . . . . . . . 10
1914, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9 Word
20 swrdlen 12632 . . . . . . . . 9 Word substr
2112, 13, 19, 20syl3anc 1229 . . . . . . . 8 Word substr
22 swrdlen 12632 . . . . . . . . 9 Word substr
2312, 14, 15, 22syl3anc 1229 . . . . . . . 8 Word substr
2421, 23oveq12d 6299 . . . . . . 7 Word substr substr
25 elfzelz 11699 . . . . . . . . . 10
2614, 25syl 16 . . . . . . . . 9 Word
2726zcnd 10977 . . . . . . . 8 Word
28 elfzelz 11699 . . . . . . . . . 10
2913, 28syl 16 . . . . . . . . 9 Word
3029zcnd 10977 . . . . . . . 8 Word
31 elfzelz 11699 . . . . . . . . . 10
3215, 31syl 16 . . . . . . . . 9 Word
3332zcnd 10977 . . . . . . . 8 Word
3427, 30, 33npncan3d 9972 . . . . . . 7 Word
3524, 34eqtrd 2484 . . . . . 6 Word substr substr
3611, 35eqtrd 2484 . . . . 5 Word substr concat substr
3736oveq2d 6297 . . . 4 Word ..^ substr concat substr ..^
3837fneq2d 5662 . . 3 Word substr concat substr ..^ substr concat substr substr concat substr ..^
399, 38mpbid 210 . 2 Word substr concat substr ..^
40 swrdcl 12628 . . . . 5 Word substr Word
4140adantr 465 . . . 4 Word substr Word
42 wrdf 12535 . . . 4 substr Word substr ..^ substr
43 ffn 5721 . . . 4 substr ..^ substr substr ..^ substr
4441, 42, 433syl 20 . . 3 Word substr ..^ substr
45 fzass4 11732 . . . . . . . . 9
4645biimpri 206 . . . . . . . 8
4746simpld 459 . . . . . . 7
4813, 14, 47syl2anc 661 . . . . . 6 Word
49 swrdlen 12632 . . . . . 6 Word substr
5012, 48, 15, 49syl3anc 1229 . . . . 5 Word substr
5150oveq2d 6297 . . . 4 Word ..^ substr ..^
5251fneq2d 5662 . . 3 Word substr ..^ substr substr ..^
5344, 52mpbid 210 . 2 Word substr ..^
54 simpr 461 . . . . 5 Word ..^ ..^
5526, 29zsubcld 10981 . . . . . 6 Word
5655adantr 465 . . . . 5 Word ..^
57 fzospliti 11839 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
5854, 56, 57syl2anc 661 . . . 4 Word ..^ ..^ ..^
592adantr 465 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
604adantr 465 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
6121oveq2d 6297 . . . . . . . . 9 Word ..^ substr ..^
6261eleq2d 2513 . . . . . . . 8 Word ..^ substr ..^
6362biimpar 485 . . . . . . 7 Word ..^ ..^ substr
64 ccatval1 12577 . . . . . . 7 substr Word substr Word ..^ substr substr concat substr substr
6559, 60, 63, 64syl3anc 1229 . . . . . 6 Word ..^ substr concat substr substr
66 simpll 753 . . . . . . 7 Word ..^ Word
67 simplr1 1039 . . . . . . 7 Word ..^
6819adantr 465 . . . . . . 7 Word ..^
69 simpr 461 . . . . . . 7 Word ..^ ..^
70 swrdfv 12633 . . . . . . 7 Word ..^ substr
7166, 67, 68, 69, 70syl31anc 1232 . . . . . 6 Word ..^ substr
7265, 71eqtrd 2484 . . . . 5 Word ..^ substr concat substr
732adantr 465 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
744adantr 465 . . . . . . 7 Word ..^ substr Word
7521, 35oveq12d 6299 . . . . . . . . 9 Word substr ..^ substr substr ..^
7675eleq2d 2513 . . . . . . . 8 Word substr ..^ substr substr ..^
7776biimpar 485 . . . . . . 7 Word ..^ substr ..^ substr substr
78 ccatval2 12578 . . . . . . 7 substr Word substr Word substr ..^ substr substr substr concat substr substr substr
7973, 74, 77, 78syl3anc 1229 . . . . . 6 Word ..^ substr concat substr substr substr
80 simpll 753 . . . . . . 7 Word ..^ Word
81 simplr2 1040 . . . . . . 7 Word ..^
82 simplr3 1041 . . . . . . 7 Word ..^
8321oveq2d 6297 . . . . . . . . 9 Word substr
8483adantr 465 . . . . . . . 8 Word ..^ substr
8534oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11 Word ..^ ..^
8685eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10 Word ..^ ..^
8786biimpar 485 . . . . . . . . 9 Word ..^ ..^
8832, 26zsubcld 10981 . . . . . . . . . 10 Word
8988adantr 465 . . . . . . . . 9 Word ..^
90 fzosubel3 11859 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
9187, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . 8 Word ..^ ..^
9284, 91eqeltrd 2531 . . . . . . 7 Word ..^ substr ..^
93 swrdfv 12633 . . . . . . 7 Word substr ..^ substr substr substr
9480, 81, 82, 92, 93syl31anc 1232 . . . . . 6 Word ..^ substr substr substr
9583oveq1d 6296 . . . . . . . . 9 Word substr
9695adantr 465 . . . . . . . 8 Word ..^ substr
97 elfzoelz 11811 . . . . . . . . . . 11 ..^
9897zcnd 10977 . . . . . . . . . 10 ..^
9998adantl 466 . . . . . . . . 9 Word ..^
10027, 30subcld 9936 . . . . . . . . . 10 Word
101100adantr 465 . . . . . . . . 9 Word ..^
10227adantr 465 . . . . . . . . 9 Word ..^
10399, 101, 102subadd23d 9958 . . . . . . . 8 Word ..^
10427, 30nncand 9941 . . . . . . . . . 10 Word
105104oveq2d 6297 . . . . . . . . 9 Word
106105adantr 465 . . . . . . . 8 Word ..^
10796, 103, 1063eqtrd 2488 . . . . . . 7 Word ..^ substr
108107fveq2d 5860 . . . . . 6 Word ..^ substr
10979, 94, 1083eqtrd 2488 . . . . 5 Word ..^ substr concat substr
11072, 109jaodan 785 . . . 4 Word ..^ ..^ substr concat substr
11158, 110syldan 470 . . 3 Word ..^ substr concat substr
112 simpll 753 . . . 4 Word ..^ Word
11348adantr 465 . . . 4 Word ..^
114 simplr3 1041 . . . 4 Word ..^
115 swrdfv 12633 . . . 4 Word ..^ substr
116112, 113, 114, 54, 115syl31anc 1232 . . 3 Word ..^ substr
117111, 116eqtr4d 2487 . 2 Word ..^ substr concat substr substr
11839, 53, 117eqfnfvd 5969 1 Word substr concat substr substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cop 4020   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cc0 9495   caddc 9498   cmin 9810  cz 10871  cfz 11683  ..^cfzo 11806  chash 12387  Word cword 12516   concat cconcat 12518   substr csubstr 12520 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-substr 12528 This theorem is referenced by:  wrdcctswrd  12672  swrdccatwrd  12675  wrdeqcats1  12681  wrdeqs1cat  12682  splid  12711  splval2  12715  swrds2  12865  efgredleme  16740  efgredlemc  16742  efgcpbllemb  16752  frgpuplem  16769  wrdsplex  28473
 Copyright terms: Public domain W3C validator