MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrid Structured version   Unicode version

Theorem ccatrid 12297
Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrid  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )

Proof of Theorem ccatrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 12264 . . . . 5  |-  (/)  e. Word  B
2 ccatcl 12286 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) )  e. Word  B
)
3 wrdf 12252 . . . . . 6  |-  ( ( S concat  (/) )  e. Word  B  ->  ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) ) --> B )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
51, 4mpan2 671 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
6 ffn 5571 . . . 4  |-  ( ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B  ->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
8 ccatlen 12287 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
91, 8mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
10 hash0 12147 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
1110oveq2i 6114 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  0 )
12 lencl 12261 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
1413addid1d 9581 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  0 )  =  ( # `  S
) )
1511, 14syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
169, 15eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
1716oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) )  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1817fneq2d 5514 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) )  <->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) ) )
197, 18mpbid 210 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  S
) ) )
20 wrdf 12252 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B )
21 ffn 5571 . . 3  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
23 ccatval1 12288 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
241, 23mp3an2 1302 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
2519, 22, 24eqfnfvd 5812 1  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3649    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294    + caddc 9297  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233   concat cconcat 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-hash 12116  df-word 12241  df-concat 12243
This theorem is referenced by:  swrdccat  12396  swrdccat3blem  12398  cshword  12440  cshw0  12443  gsumccat  15531  frmdmnd  15549  frmd0  15550  efginvrel2  16236  efgredleme  16252  efgcpbllemb  16264  efgcpbl2  16266  frgpnabllem1  16363  signstfvc  26987
  Copyright terms: Public domain W3C validator