MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrid Structured version   Unicode version

Theorem ccatrid 12570
Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrid  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )

Proof of Theorem ccatrid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 12532 . . . . 5  |-  (/)  e. Word  B
2 ccatcl 12559 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) )  e. Word  B
)
3 wrdf 12520 . . . . . 6  |-  ( ( S concat  (/) )  e. Word  B  ->  ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) ) --> B )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
51, 4mpan2 671 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B )
6 ffn 5731 . . . 4  |-  ( ( S concat  (/) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) --> B  ->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) ) )
8 ccatlen 12560 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
91, 8mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  (/) ) ) )
10 hash0 12406 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
1110oveq2i 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( # `  S )  +  0 )
12 lencl 12529 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10855 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
1413addid1d 9780 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  0 )  =  ( # `  S
) )
1511, 14syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
169, 15eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 ( S concat  (/) ) )  =  ( # `  S
) )
1716oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat 
(/) ) ) )  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
1817fneq2d 5672 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  (
( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  (/) ) ) )  <->  ( S concat  (/) )  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) ) )
197, 18mpbid 210 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  Fn  (
0..^ ( # `  S
) ) )
20 wrdf 12520 . . 3  |-  ( S  e. Word  B  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B )
21 ffn 5731 . . 3  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( S  e. Word  B  ->  S  Fn  ( 0..^ ( # `  S ) ) )
23 ccatval1 12561 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  (/) 
e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
241, 23mp3an2 1312 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  (/) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
2519, 22, 24eqfnfvd 5979 1  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( S concat 
(/) )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493    + caddc 9496  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   concat cconcat 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511
This theorem is referenced by:  swrdccat  12684  swrdccat3blem  12686  cshword  12728  cshw0  12731  gsumccat  15844  frmdmnd  15862  frmd0  15863  efginvrel2  16560  efgredleme  16576  efgcpbllemb  16588  efgcpbl2  16590  frgpnabllem1  16692  signstfvc  28282
  Copyright terms: Public domain W3C validator