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Theorem ccatpfx 32656
Description: Joining a prefix with an adjacent subword makes a longer prefix. (Contributed by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatpfx  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  =  ( S prefix  Z ) )

Proof of Theorem ccatpfx
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pfxcl 32633 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( S prefix  Y )  e. Word  A
)
213ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  Y )  e. Word  A )
3 swrdcl 12638 . . . . . 6  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A )
433ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A
)
5 ccatcl 12585 . . . . 5  |-  ( ( ( S prefix  Y )  e. Word  A  /\  ( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A )  ->  ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  e. Word  A )
62, 4, 5syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  e. Word  A )
7 wrdf 12541 . . . 4  |-  ( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  e. Word  A  ->  ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) : ( 0..^ ( # `  (
( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) --> A )
8 ffn 5713 . . . 4  |-  ( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) : ( 0..^ ( # `  ( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) --> A  ->  (
( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) )
96, 7, 83syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) )
10 ccatlen 12586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S prefix  Y )  e. Word  A  /\  ( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A )  ->  ( # `  (
( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) )  =  ( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )
112, 4, 10syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) )  =  ( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )
12 simp1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  A )
13 fzass4 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  /\  Z  e.  ( Y ... ( # `
 S ) ) )  <->  ( Y  e.  ( 0 ... Z
)  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `
 S ) ) ) )
1413biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( Y  e.  ( 0 ... ( # `  S ) )  /\  Z  e.  ( Y ... ( # `  S
) ) ) )
1514simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )
16153adant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )
17 pfxlen 32638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S prefix  Y ) )  =  Y )
1812, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S prefix  Y ) )  =  Y )
19 swrdlen 12642 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  =  ( Z  -  Y ) )
2018, 19oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) )  =  ( Y  +  ( Z  -  Y ) ) )
21 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( 0 ... Z )  ->  Y  e.  ZZ )
2221ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) ) )  ->  Y  e.  ZZ )
2322zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) ) )  ->  Y  e.  CC )
24233impb 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  Y  e.  CC )
25 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  Z  e.  ZZ )
2625ad2antll 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) ) )  ->  Z  e.  ZZ )
2726zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) ) )  ->  Z  e.  CC )
28273impb 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  Z  e.  CC )
2924, 28pncan3d 9925 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( Y  +  ( Z  -  Y ) )  =  Z )
3020, 29eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) )  =  Z )
3111, 30eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( # `  ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) )  =  Z )
3231oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )  =  ( 0..^ Z ) )
3332fneq2d 5654 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  (
( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )  <->  ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  Fn  ( 0..^ Z ) ) )
349, 33mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  Fn  ( 0..^ Z ) )
35 pfxfn 32637 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  Z )  Fn  ( 0..^ Z ) )
36353adant2 1013 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  Z )  Fn  ( 0..^ Z ) )
37 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  ->  x  e.  ( 0..^ Z ) )
38213ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  Y  e.  ZZ )
3938adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  ->  Y  e.  ZZ )
40 fzospliti 11834 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ Z )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ Y )  \/  x  e.  ( Y..^ Z ) ) )
4137, 39, 40syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ Y )  \/  x  e.  ( Y..^ Z ) ) )
422adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  -> 
( S prefix  Y )  e. Word  A )
434adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  -> 
( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A
)
4418oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  ( S prefix  Y ) ) )  =  ( 0..^ Y ) )
4544eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S prefix  Y ) ) )  <-> 
x  e.  ( 0..^ Y ) ) )
4645biimpar 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) )
47 ccatval1 12587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S prefix  Y )  e. Word  A  /\  ( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) )  ->  ( (
( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( ( S prefix  Y ) `
 x ) )
4842, 43, 46, 47syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( ( S prefix  Y ) `  x
) )
4912adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  ->  S  e. Word  A )
5016adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  ->  Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )
51 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  ->  x  e.  ( 0..^ Y ) )
52 pfxfv 32646 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  ->  ( ( S prefix  Y ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) `  x )  =  ( S `  x ) )
5448, 53eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Y ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
552adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( S prefix  Y )  e. Word  A )
564adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A
)
5718, 30oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( # `  ( S prefix  Y ) )..^ ( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )  =  ( Y..^ Z
) )
5857eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( ( # `  ( S prefix  Y ) )..^ ( ( # `  ( S prefix  Y ) )  +  ( # `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) )  <-> 
x  e.  ( Y..^ Z ) ) )
5958biimpar 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  ->  x  e.  ( ( # `
 ( S prefix  Y
) )..^ ( (
# `  ( S prefix  Y ) )  +  (
# `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) )
60 ccatval2 12588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S prefix  Y )  e. Word  A  /\  ( S substr  <. Y ,  Z >. )  e. Word  A  /\  x  e.  ( ( # `
 ( S prefix  Y
) )..^ ( (
# `  ( S prefix  Y ) )  +  (
# `  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) ) ) )  ->  ( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x
)  =  ( ( S substr  <. Y ,  Z >. ) `  ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) ) )
6155, 56, 59, 60syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( ( S substr  <. Y ,  Z >. ) `
 ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) ) )
6218oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  =  ( x  -  Y
) )
6362adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  =  ( x  -  Y
) )
6438anim1i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( Y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) ) )
6564ancomd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( x  e.  ( Y..^ Z )  /\  Y  e.  ZZ )
)
66 fzosubel 11856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Y..^ Z )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
x  -  Y )  e.  ( ( Y  -  Y )..^ ( Z  -  Y ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( x  -  Y
)  e.  ( ( Y  -  Y )..^ ( Z  -  Y
) ) )
6821zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  ( 0 ... Z )  ->  Y  e.  CC )
6968subidd 9910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( 0 ... Z )  ->  ( Y  -  Y )  =  0 )
7069eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( 0 ... Z )  ->  0  =  ( Y  -  Y ) )
71703ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
0  =  ( Y  -  Y ) )
7271oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( 0..^ ( Z  -  Y ) )  =  ( ( Y  -  Y )..^ ( Z  -  Y ) ) )
7372eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( x  -  Y )  e.  ( 0..^ ( Z  -  Y ) )  <->  ( x  -  Y )  e.  ( ( Y  -  Y
)..^ ( Z  -  Y ) ) ) )
7473adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( x  -  Y )  e.  ( 0..^ ( Z  -  Y ) )  <->  ( x  -  Y )  e.  ( ( Y  -  Y
)..^ ( Z  -  Y ) ) ) )
7567, 74mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( x  -  Y
)  e.  ( 0..^ ( Z  -  Y
) ) )
7663, 75eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  e.  ( 0..^ ( Z  -  Y ) ) )
77 swrdfv 12643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  ( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  e.  ( 0..^ ( Z  -  Y ) ) )  ->  ( ( S substr  <. Y ,  Z >. ) `  ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) )  =  ( S `
 ( ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) )  +  Y ) ) )
7876, 77syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( S substr  <. Y ,  Z >. ) `  (
x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) ) )  =  ( S `  (
( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  +  Y ) ) )
7963oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) )  +  Y )  =  ( ( x  -  Y )  +  Y
) )
80 elfzoelz 11804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( Y..^ Z
)  ->  x  e.  ZZ )
8180zcnd 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Y..^ Z
)  ->  x  e.  CC )
8281adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  ->  x  e.  CC )
8324adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  ->  Y  e.  CC )
8482, 83npcand 9926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( x  -  Y )  +  Y
)  =  x )
8579, 84eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( x  -  ( # `  ( S prefix  Y ) ) )  +  Y )  =  x )
8685fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( S `  (
( x  -  ( # `
 ( S prefix  Y
) ) )  +  Y ) )  =  ( S `  x
) )
8761, 78, 863eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( Y..^ Z ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
8854, 87jaodan 783 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  ( x  e.  (
0..^ Y )  \/  x  e.  ( Y..^ Z ) ) )  ->  ( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
8941, 88syldan 468 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
9012adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  ->  S  e. Word  A )
91 simpl3 999 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  ->  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )
92 pfxfv 32646 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  ->  ( ( S prefix  Z ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
9390, 91, 37, 92syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  -> 
( ( S prefix  Z
) `  x )  =  ( S `  x ) )
9489, 93eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  (
0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ Z ) )  -> 
( ( ( S prefix  Y ) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) ) `  x )  =  ( ( S prefix  Z ) `  x
) )
9534, 36, 94eqfnfvd 5960 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  Y  e.  ( 0 ... Z )  /\  Z  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S prefix  Y
) ++  ( S substr  <. Y ,  Z >. ) )  =  ( S prefix  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484    - cmin 9796   ZZcz 10860   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   ++ cconcat 12523   substr csubstr 12525   prefix cpfx 32628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-substr 12533  df-pfx 32629
This theorem is referenced by:  pfxcctswrd  32664
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