Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Unicode version

Theorem ccatmulgnn0dir 26959
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 15669 (although applying mulgnn0dir 15669 would require  S to be a set). In this case  A is  <" K "> to the power  M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.b  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.c  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
ccatmulgnn0dir.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
ccatmulgnn0dir.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir  |-  ( ph  ->  ( A concat  B )  =  C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
21fveq2i 5713 . . . . . . . 8  |-  ( # `  A )  =  (
# `  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) )
3 fzofi 11815 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
4 snfi 7409 . . . . . . . . 9  |-  { K }  e.  Fin
5 hashxp 12215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
72, 6eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 hashfzo0 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ M ) )  =  M )
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
12 hashsng 12155 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  S  ->  ( # `
 { K }
)  =  1 )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  { K } )  =  1 )
1410, 13oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( M  x.  1 ) )
157, 14syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( M  x.  1 ) )
168nn0cnd 10657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1716mulid1d 9422 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
1815, 17eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  M )
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
2019fveq2i 5713 . . . . . . . 8  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) )
21 fzofi 11815 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
22 hashxp 12215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
2321, 4, 22mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
2420, 23eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( # `  B )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
26 hashfzo0 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ N ) )  =  N )
2827, 13oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( N  x.  1 ) )
2924, 28syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( N  x.  1 ) )
3025nn0cnd 10657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3130mulid1d 9422 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
3229, 31eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  N )
3318, 32oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  =  ( M  +  N
) )
3433oveq2d 6126 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  =  ( 0..^ ( M  +  N ) ) )
35 eqeq1 2449 . . . 4  |-  ( ( A `  i )  =  if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) ,  ( A `
 i ) ,  ( B `  (
i  -  ( # `  A ) ) ) )  ->  ( ( A `  i )  =  K  <->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) )  =  K ) )
36 eqeq1 2449 . . . 4  |-  ( ( B `  ( i  -  ( # `  A
) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) )  -> 
( ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K  <->  if (
i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  K ) )
37 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  ->  ph )
38 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
3918oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
4037, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
4138, 40eleqtrd 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
42 fconstg 5616 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) : ( 0..^ M ) --> { K } )
4311, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
441a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } ) )
4544feq1d 5565 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  <->  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ M ) --> { K }
) )
4643, 45mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ M ) --> { K } )
47 fvconst 5916 . . . . . 6  |-  ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4846, 47sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4937, 41, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( A `  i
)  =  K )
50 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ph )
51 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
52 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
5318, 8eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5450, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5554nn0zd 10764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
5632, 25eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5750, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
59 fzocatel 11621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  /\  ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
6051, 52, 55, 58, 59syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
6132oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0..^ N ) )
6250, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  B )
)  =  ( 0..^ N ) )
6360, 62eleqtrd 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )
64 fconstg 5616 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6511, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6619a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } ) )
6766feq1d 5565 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  <->  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ N ) --> { K }
) )
6865, 67mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ N ) --> { K } )
69 fvconst 5916 . . . . . 6  |-  ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  /\  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( B `  (
i  -  ( # `  A ) ) )  =  K )
7068, 69sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  -  ( # `  A
) )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
7150, 63, 70syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
7235, 36, 49, 71ifbothda 3843 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  K )
7334, 72mpteq12dva 4388 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K ) )
74 ovex 6135 . . . . 5  |-  ( 0..^ M )  e.  _V
75 snex 4552 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
7674, 75xpex 6527 . . . 4  |-  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } )  e.  _V
771, 76eqeltri 2513 . . 3  |-  A  e. 
_V
78 ovex 6135 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
7978, 75xpex 6527 . . . 4  |-  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } )  e.  _V
8019, 79eqeltri 2513 . . 3  |-  B  e. 
_V
81 ccatfval 12292 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A concat  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )
8277, 80, 81mp2an 672 . 2  |-  ( A concat  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) ) )
83 ccatmulgnn0dir.c . . 3  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
84 fconstmpt 4901 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X. 
{ K } )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) ) 
|->  K )
8583, 84eqtri 2463 . 2  |-  C  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K )
8673, 82, 853eqtr4g 2500 1  |-  ( ph  ->  ( A concat  B )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2991   ifcif 3810   {csn 3896    e. cmpt 4369    X. cxp 4857   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Fincfn 7329   0cc0 9301   1c1 9302    + caddc 9304    x. cmul 9306    - cmin 9614   NN0cn0 10598   ZZcz 10665  ..^cfzo 11567   #chash 12122   concat cconcat 12242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-hash 12123  df-concat 12250
This theorem is referenced by:  ofcccat  26961
  Copyright terms: Public domain W3C validator