Theorem ccatmulgnn0dir 28693

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 16292 (although applying mulgnn0dir 16292 would require S to be a set). In this case A is <" K "> to the power M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	|- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.b	|- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.c	|- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.k	|- ( ph -> K e. S )
ccatmulgnn0dir.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
ccatmulgnn0dir.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	|- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
2	1	fveq2i 5875	. . . . . . . 8 |- ( # ` A ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
3		fzofi 12087	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ M ) e. Fin
4		snfi 7615	. . . . . . . . 9 |- { K } e. Fin
5		hashxp 12496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
7	2, 6	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- ( # ` A ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
9		hashfzo0 12492	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. S )
12		hashsng 12441	. . . . . . . . 9 |- ( K e. S -> ( # ` { K } ) = 1 )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` { K } ) = 1 )
14	10, 13	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( M x. 1 ) )
15	7, 14	syl5eq 2510	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` A ) = ( M x. 1 ) )
16	8	nn0cnd 10875	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
17	16	mulid1d 9630	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. 1 ) = M )
18	15, 17	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` A ) = M )
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
20	19	fveq2i 5875	. . . . . . . 8 |- ( # ` B ) = ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
21		fzofi 12087	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ N ) e. Fin
22		hashxp 12496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
23	21, 4, 22	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
24	20, 23	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- ( # ` B ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
26		hashfzo0 12492	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
28	27, 13	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( N x. 1 ) )
29	24, 28	syl5eq 2510	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( N x. 1 ) )
30	25	nn0cnd 10875	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
31	30	mulid1d 9630	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
32	29, 31	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` B ) = N )
33	18, 32	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) = ( M + N ) )
34	33	oveq2d 6312	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) = ( 0..^ ( M + N ) ) )
35		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
36		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
37	18	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
38	35, 37	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
39	36, 38	eleqtrd 2547	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
40		fconstg 5778	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
41	11, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
43	42	feq1d 5723	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A : ( 0..^ M ) --> { K } <-> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } ) )
44	41, 43	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( 0..^ M ) --> { K } )
45		fvconst 6090	. . . . . 6 |- ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K } /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
46	44, 45	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
47	35, 39, 46	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( A ` i ) = K )
48		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
49		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
50		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
51	18, 8	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
52	48, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 10988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
54	32, 25	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
55	48, 54	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
56	55	nn0zd 10988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
57		fzocatel 11883	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) /\ ( ( # ` A ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
59	32	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
60	48, 59	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
61	58, 60	eleqtrd 2547	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) )
62		fconstg 5778	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
63	11, 62	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
65	64	feq1d 5723	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B : ( 0..^ N ) --> { K } <-> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } ) )
66	63, 65	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> B : ( 0..^ N ) --> { K } )
67		fvconst 6090	. . . . . 6 |- ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K } /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
68	66, 67	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
69	48, 61, 68	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
70	47, 69	ifeqda 3977	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) -> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) = K )
71	34, 70	mpteq12dva 4534	. 2 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K ) )
72		ovex 6324	. . . . 5 |- ( 0..^ M ) e. _V
73		snex 4697	. . . . 5 |- { K } e. _V
74	72, 73	xpex 6603	. . . 4 |- ( ( 0..^ M ) X. { K } ) e. _V
75	1, 74	eqeltri 2541	. . 3 |- A e. _V
76		ovex 6324	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
77	76, 73	xpex 6603	. . . 4 |- ( ( 0..^ N ) X. { K } ) e. _V
78	19, 77	eqeltri 2541	. . 3 |- B e. _V
79		ccatfval 12601	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) )
80	75, 78, 79	mp2an 672	. 2 |- ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) )
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 |- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
82		fconstmpt 5052	. . 3 |- ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
83	81, 82	eqtri 2486	. 2 |- C = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2523	1 |- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   ifcif 3944   {csn 4032   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   - cmin 9824   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   #chash 12408   ++ cconcat 12540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-concat 12548

This theorem is referenced by:  ofcccat  28695