Theorem ccatmulgnn0dir 29440

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 16793 (although applying mulgnn0dir 16793 would require S to be a set). In this case A is <" K "> to the power M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	|- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.b	|- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.c	|- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.k	|- ( ph -> K e. S )
ccatmulgnn0dir.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
ccatmulgnn0dir.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	|- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
2	1	fveq2i 5873	. . . . . . . 8 |- ( # ` A ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
3		fzofi 12194	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ M ) e. Fin
4		snfi 7655	. . . . . . . . 9 |- { K } e. Fin
5		hashxp 12613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 679	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
7	2, 6	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( # ` A ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
9		hashfzo0 12609	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. S )
12		hashsng 12556	. . . . . . . . 9 |- ( K e. S -> ( # ` { K } ) = 1 )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` { K } ) = 1 )
14	10, 13	oveq12d 6313	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( M x. 1 ) )
15	7, 14	syl5eq 2499	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` A ) = ( M x. 1 ) )
16	8	nn0cnd 10934	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
17	16	mulid1d 9665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. 1 ) = M )
18	15, 17	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` A ) = M )
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
20	19	fveq2i 5873	. . . . . . . 8 |- ( # ` B ) = ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
21		fzofi 12194	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ N ) e. Fin
22		hashxp 12613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
23	21, 4, 22	mp2an 679	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
24	20, 23	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( # ` B ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
26		hashfzo0 12609	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
28	27, 13	oveq12d 6313	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( N x. 1 ) )
29	24, 28	syl5eq 2499	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( N x. 1 ) )
30	25	nn0cnd 10934	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
31	30	mulid1d 9665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
32	29, 31	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` B ) = N )
33	18, 32	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) = ( M + N ) )
34	33	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) = ( 0..^ ( M + N ) ) )
35		simpll 761	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
36		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
37	18	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
39	36, 38	eleqtrd 2533	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
40		fconstg 5775	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
43	42	feq1d 5719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A : ( 0..^ M ) --> { K } <-> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } ) )
44	41, 43	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( 0..^ M ) --> { K } )
45		fvconst 6087	. . . . . 6 |- ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K } /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
46	44, 45	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
47	35, 39, 46	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( A ` i ) = K )
48		simpll 761	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
49		simplr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
50		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
51	18, 8	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 11045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
54	32, 25	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
56	55	nn0zd 11045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
57		fzocatel 11985	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) /\ ( ( # ` A ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 1270	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
59	32	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
61	58, 60	eleqtrd 2533	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) )
62		fconstg 5775	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
65	64	feq1d 5719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B : ( 0..^ N ) --> { K } <-> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } ) )
66	63, 65	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> B : ( 0..^ N ) --> { K } )
67		fvconst 6087	. . . . . 6 |- ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K } /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
68	66, 67	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
69	48, 61, 68	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
70	47, 69	ifeqda 3916	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) -> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) = K )
71	34, 70	mpteq12dva 4483	. 2 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K ) )
72		ovex 6323	. . . . 5 |- ( 0..^ M ) e. _V
73		snex 4644	. . . . 5 |- { K } e. _V
74	72, 73	xpex 6600	. . . 4 |- ( ( 0..^ M ) X. { K } ) e. _V
75	1, 74	eqeltri 2527	. . 3 |- A e. _V
76		ovex 6323	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
77	76, 73	xpex 6600	. . . 4 |- ( ( 0..^ N ) X. { K } ) e. _V
78	19, 77	eqeltri 2527	. . 3 |- B e. _V
79		ccatfval 12726	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) )
80	75, 78, 79	mp2an 679	. 2 |- ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) )
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 |- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
82		fconstmpt 4881	. . 3 |- ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
83	81, 82	eqtri 2475	. 2 |- C = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2512	1 |- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   ifcif 3883   {csn 3970   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   - cmin 9865   NN0cn0 10876   ZZcz 10944  ..^cfzo 11922   #chash 12522   ++ cconcat 12665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-concat 12673

This theorem is referenced by:  ofcccat  29442