Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Unicode version

Theorem ccatmulgnn0dir 28693
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 16292 (although applying mulgnn0dir 16292 would require  S to be a set). In this case  A is  <" K "> to the power  M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.b  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.c  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
ccatmulgnn0dir.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
ccatmulgnn0dir.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir  |-  ( ph  ->  ( A ++  B )  =  C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
21fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( # `  A )  =  (
# `  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) )
3 fzofi 12087 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
4 snfi 7615 . . . . . . . . 9  |-  { K }  e.  Fin
5 hashxp 12496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
72, 6eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 hashfzo0 12492 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ M ) )  =  M )
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
12 hashsng 12441 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  S  ->  ( # `
 { K }
)  =  1 )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  { K } )  =  1 )
1410, 13oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( M  x.  1 ) )
157, 14syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( M  x.  1 ) )
168nn0cnd 10875 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1716mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
1815, 17eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  M )
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
2019fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) )
21 fzofi 12087 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
22 hashxp 12496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
2321, 4, 22mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
2420, 23eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( # `  B )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
26 hashfzo0 12492 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ N ) )  =  N )
2827, 13oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( N  x.  1 ) )
2924, 28syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( N  x.  1 ) )
3025nn0cnd 10875 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3130mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
3229, 31eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  N )
3318, 32oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  =  ( M  +  N
) )
3433oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  =  ( 0..^ ( M  +  N ) ) )
35 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  ->  ph )
36 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
3718oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
3835, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
3936, 38eleqtrd 2547 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
40 fconstg 5778 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) : ( 0..^ M ) --> { K } )
4111, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
421a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } ) )
4342feq1d 5723 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  <->  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ M ) --> { K }
) )
4441, 43mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ M ) --> { K } )
45 fvconst 6090 . . . . . 6  |-  ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4644, 45sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4735, 39, 46syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( A `  i
)  =  K )
48 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ph )
49 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
50 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
5118, 8eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5248, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 10988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
5432, 25eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5548, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5655nn0zd 10988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
57 fzocatel 11883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  /\  ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
5849, 50, 53, 56, 57syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
5932oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0..^ N ) )
6048, 59syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  B )
)  =  ( 0..^ N ) )
6158, 60eleqtrd 2547 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )
62 fconstg 5778 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6311, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6419a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } ) )
6564feq1d 5723 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  <->  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ N ) --> { K }
) )
6663, 65mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ N ) --> { K } )
67 fvconst 6090 . . . . . 6  |-  ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  /\  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( B `  (
i  -  ( # `  A ) ) )  =  K )
6866, 67sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  -  ( # `  A
) )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
6948, 61, 68syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
7047, 69ifeqda 3977 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  K )
7134, 70mpteq12dva 4534 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K ) )
72 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( 0..^ M )  e.  _V
73 snex 4697 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
7472, 73xpex 6603 . . . 4  |-  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } )  e.  _V
751, 74eqeltri 2541 . . 3  |-  A  e. 
_V
76 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
7776, 73xpex 6603 . . . 4  |-  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } )  e.  _V
7819, 77eqeltri 2541 . . 3  |-  B  e. 
_V
79 ccatfval 12601 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A ++  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )
8075, 78, 79mp2an 672 . 2  |-  ( A ++  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) ) )
81 ccatmulgnn0dir.c . . 3  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
82 fconstmpt 5052 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X. 
{ K } )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) ) 
|->  K )
8381, 82eqtri 2486 . 2  |-  C  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K )
8471, 80, 833eqtr4g 2523 1  |-  ( ph  ->  ( A ++  B )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   #chash 12408   ++ cconcat 12540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-concat 12548
This theorem is referenced by:  ofcccat  28695
  Copyright terms: Public domain W3C validator