Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Unicode version

Theorem ccatmulgnn0dir 28122
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 15958 (although applying mulgnn0dir 15958 would require  S to be a set). In this case  A is  <" K "> to the power  M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.b  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.c  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
ccatmulgnn0dir.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
ccatmulgnn0dir.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
ccatmulgnn0dir.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir  |-  ( ph  ->  ( A concat  B )  =  C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( ( 0..^ M )  X.  { K } )
21fveq2i 5860 . . . . . . . 8  |-  ( # `  A )  =  (
# `  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) )
3 fzofi 12040 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
4 snfi 7586 . . . . . . . . 9  |-  { K }  e.  Fin
5 hashxp 12445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
72, 6eqtri 2489 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  =  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 hashfzo0 12440 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ M ) )  =  M )
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
12 hashsng 12393 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  S  ->  ( # `
 { K }
)  =  1 )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  { K } )  =  1 )
1410, 13oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( M  x.  1 ) )
157, 14syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( M  x.  1 ) )
168nn0cnd 10843 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1716mulid1d 9602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
1815, 17eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  M )
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( ( 0..^ N )  X.  { K } )
2019fveq2i 5860 . . . . . . . 8  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) )
21 fzofi 12040 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
22 hashxp 12445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  { K }  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) ) )
2321, 4, 22mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
2420, 23eqtri 2489 . . . . . . 7  |-  ( # `  B )  =  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
26 hashfzo0 12440 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0..^ N ) )  =  N )
2827, 13oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0..^ N ) )  x.  ( # `  { K } ) )  =  ( N  x.  1 ) )
2924, 28syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( N  x.  1 ) )
3025nn0cnd 10843 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3130mulid1d 9602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
3229, 31eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  N )
3318, 32oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  =  ( M  +  N
) )
3433oveq2d 6291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  =  ( 0..^ ( M  +  N ) ) )
35 eqeq1 2464 . . . 4  |-  ( ( A `  i )  =  if ( i  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) ,  ( A `
 i ) ,  ( B `  (
i  -  ( # `  A ) ) ) )  ->  ( ( A `  i )  =  K  <->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) )  =  K ) )
36 eqeq1 2464 . . . 4  |-  ( ( B `  ( i  -  ( # `  A
) ) )  =  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) )  -> 
( ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K  <->  if (
i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  K ) )
37 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  ->  ph )
38 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
3918oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
4037, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0..^ M ) )
4138, 40eleqtrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
42 fconstg 5763 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ M )  X.  { K }
) : ( 0..^ M ) --> { K } )
4311, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ M )  X.  { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
441a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } ) )
4544feq1d 5708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  <->  ( (
0..^ M )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ M ) --> { K }
) )
4643, 45mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ M ) --> { K } )
47 fvconst 6070 . . . . . 6  |-  ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K }  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4846, 47sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A `  i )  =  K )
4937, 41, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  -> 
( A `  i
)  =  K )
50 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ph )
51 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
52 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
5318, 8eqeltrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5450, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5554nn0zd 10953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
5632, 25eqeltrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5750, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
59 fzocatel 11837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )  /\  ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
6051, 52, 55, 58, 59syl22anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
6132oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0..^ N ) )
6250, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( 0..^ (
# `  B )
)  =  ( 0..^ N ) )
6360, 62eleqtrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )
64 fconstg 5763 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  S  ->  (
( 0..^ N )  X.  { K }
) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6511, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ N )  X.  { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
6619a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } ) )
6766feq1d 5708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  <->  ( (
0..^ N )  X. 
{ K } ) : ( 0..^ N ) --> { K }
) )
6865, 67mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ N ) --> { K } )
69 fvconst 6070 . . . . . 6  |-  ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K }  /\  ( i  -  ( # `  A ) )  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( B `  (
i  -  ( # `  A ) ) )  =  K )
7068, 69sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  -  ( # `  A
) )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
7150, 63, 70syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )  /\  -.  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) )  =  K )
7235, 36, 49, 71ifbothda 3967 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  ->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  K )
7334, 72mpteq12dva 4517 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K ) )
74 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( 0..^ M )  e.  _V
75 snex 4681 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
7674, 75xpex 6704 . . . 4  |-  ( ( 0..^ M )  X. 
{ K } )  e.  _V
771, 76eqeltri 2544 . . 3  |-  A  e. 
_V
78 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
7978, 75xpex 6704 . . . 4  |-  ( ( 0..^ N )  X. 
{ K } )  e.  _V
8019, 79eqeltri 2544 . . 3  |-  B  e. 
_V
81 ccatfval 12544 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A concat  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  |->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ,  ( A `  i ) ,  ( B `  ( i  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )
8277, 80, 81mp2an 672 . 2  |-  ( A concat  B )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
|->  if ( i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ,  ( A `  i
) ,  ( B `
 ( i  -  ( # `  A ) ) ) ) )
83 ccatmulgnn0dir.c . . 3  |-  C  =  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X.  { K } )
84 fconstmpt 5035 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( M  +  N ) )  X. 
{ K } )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) ) 
|->  K )
8583, 84eqtri 2489 . 2  |-  C  =  ( i  e.  ( 0..^ ( M  +  N ) )  |->  K )
8673, 82, 853eqtr4g 2526 1  |-  ( ph  ->  ( A concat  B )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ifcif 3932   {csn 4020    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZcz 10853  ..^cfzo 11781   #chash 12360   concat cconcat 12489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-concat 12497
This theorem is referenced by:  ofcccat  28124
  Copyright terms: Public domain W3C validator