MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfv0 Structured version   Unicode version

Theorem ccatfv0 12404
Description: The first symbol of a concatenation of two words is the first symbol of the first word if the first word is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccatfv0  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  (
( A concat  B ) `  0 )  =  ( A `  0
) )

Proof of Theorem ccatfv0
StepHypRef Expression
1 lencl 12371 . . . . 5  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 elnnnn0b 10739 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  <->  ( ( # `  A )  e.  NN0  /\  0  <  ( # `  A ) ) )
32biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
41, 3sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
5 lbfzo0 11707 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  A )
)  <->  ( # `  A
)  e.  NN )
64, 5sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
763adant2 1007 . 2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
8 ccatval1 12398 . 2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
97, 8syld3an3 1264 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  A
) )  ->  (
( A concat  B ) `  0 )  =  ( A `  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397    < clt 9533   NNcn 10437   NN0cn0 10694  ..^cfzo 11669   #chash 12224  Word cword 12343   concat cconcat 12345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353
This theorem is referenced by:  lswccats1fst  30433  clwwlkext2edg  30635  wwlkext2clwwlk  30636  clwwlkextfrlem1  30840
  Copyright terms: Public domain W3C validator