MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfn Structured version   Unicode version

Theorem ccatfn 12704
Description: The concatenation operator is a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatfn  |- ++  Fn  ( _V  X.  _V )

Proof of Theorem ccatfn
Dummy variables  t 
s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-concat 12653 . 2  |- ++  =  ( s  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  s
)  +  ( # `  t ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  s ) ) ,  ( s `  x
) ,  ( t `
 ( x  -  ( # `  s ) ) ) ) ) )
2 ovex 6333 . . 3  |-  ( 0..^ ( ( # `  s
)  +  ( # `  t ) ) )  e.  _V
32mptex 6151 . 2  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  s
)  +  ( # `  t ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  s ) ) ,  ( s `  x
) ,  ( t `
 ( x  -  ( # `  s ) ) ) ) )  e.  _V
41, 3fnmpt2i 6876 1  |- ++  Fn  ( _V  X.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   ifcif 3915    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538    + caddc 9541    - cmin 9859  ..^cfzo 11913   #chash 12512   ++ cconcat 12645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-concat 12653
This theorem is referenced by:  frmdplusg  16589
  Copyright terms: Public domain W3C validator