MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatcl Structured version   Unicode version

Theorem ccatcl 12707
Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatcl  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S ++  T )  e. Word  B )

Proof of Theorem ccatcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 12706 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S ++  T )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) )
2 wrdf 12663 . . . . . . 7  |-  ( S  e. Word  B  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B )
32ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> B )
43ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S `  x
)  e.  B )
5 wrdf 12663 . . . . . . 7  |-  ( T  e. Word  B  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> B )
65ad3antlr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T : ( 0..^ (
# `  T )
) --> B )
7 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
87anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  /\  -.  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ) )
9 lencl 12674 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
109nn0zd 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
11 lencl 12674 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
1211nn0zd 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
1310, 12anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  ( # `  T )  e.  ZZ ) )
1413ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  ( # `  T )  e.  ZZ ) )
15 fzocatel 11975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  /\  -.  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  /\  ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  ( # `  T )  e.  ZZ ) )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
168, 14, 15syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( 0..^ (
# `  T )
) )
176, 16ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B
)  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  /\  -.  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  e.  B )
184, 17ifclda 3947 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  ->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )  e.  B
)
19 eqid 2429 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )
2018, 19fmptd 6061 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) --> B )
21 iswrdi 12662 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
|->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) ,  ( S `  x
) ,  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) --> B  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )  e. Word  B )
2220, 21syl 17 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  |->  if ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) ,  ( S `  x ) ,  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) ) )  e. Word  B )
231, 22eqeltrd 2517 1  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S ++  T )  e. Word  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870   ifcif 3915    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538    + caddc 9541    - cmin 9859   ZZcz 10937  ..^cfzo 11913   #chash 12512  Word cword 12643   ++ cconcat 12645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653
This theorem is referenced by:  ccatsymb  12714  ccatass  12719  ccatws1cl  12738  ccatswrd  12797  swrdccat1  12798  swrdccat2  12799  swrdccatfn  12823  swrdccatin1  12824  swrdccatin2  12828  swrdccatin12lem2c  12829  swrdccatin12  12832  splcl  12844  spllen  12846  splfv1  12847  splfv2a  12848  splval2  12849  revccat  12856  cshwcl  12885  cats1cld  12936  cats1cli  12938  gsumccat  16576  gsumspl  16579  gsumwspan  16581  frmdplusg  16589  frmdmnd  16594  frmdsssubm  16596  frmdup1  16599  psgnuni  17091  efginvrel2  17312  efgsp1  17322  efgredleme  17328  efgredlemc  17330  efgcpbllemb  17340  efgcpbl2  17342  frgpuplem  17357  frgpup1  17360  psgnghm  19079  wwlknext  25297  clwlkisclwwlk2  25363  clwwlkel  25366  wwlkext2clwwlk  25376  numclwwlkovf2ex  25659  numclwlk1lem2foa  25664  numclwlk1lem2fo  25668  sseqf  29051  ofcccat  29218  signstfvn  29246  signstfvp  29248  signstfvc  29251  signsvfn  29259  signsvtn  29261  signshf  29265  mrsubccat  29944  mrsubco  29947  ccatpfx  38339  pfxccat1  38340  pfxccatin12  38355  pfxccatpfx1  38357  pfxccatpfx2  38358
  Copyright terms: Public domain W3C validator