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Theorem ccatass 12571
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  =  ( S concat 
( T concat  U )
) )

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12559 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B )
213adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B
)
3 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  U  e. Word  B )
4 ccatcl 12559 . . . . 5  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B )
6 wrdf 12520 . . . 4  |-  ( ( ( S concat  T ) concat  U )  e. Word  B  ->  ( ( S concat  T
) concat  U ) : ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) --> B )
7 ffn 5731 . . . 4  |-  ( ( ( S concat  T ) concat  U ) : ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) --> B  ->  ( ( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( ( S concat  T
) concat  U ) ) ) )
85, 6, 73syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) ) )
9 ccatlen 12560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U ) ) )
102, 3, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U ) ) )
11 ccatlen 12560 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S concat  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
12113adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  T
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
1312oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
1410, 13eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S concat  T ) concat  U ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
1514oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
1615fneq2d 5672 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( S concat  T
) concat  U )  Fn  (
0..^ ( # `  (
( S concat  T ) concat  U ) ) )  <->  ( ( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
178, 16mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )
18 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  S  e. Word  B )
19 ccatcl 12559 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B )
20193adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B
)
21 ccatcl 12559 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  e. Word  B )
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  e. Word  B )
23 wrdf 12520 . . . 4  |-  ( ( S concat  ( T concat  U
) )  e. Word  B  ->  ( S concat  ( T concat  U ) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) --> B )
24 ffn 5731 . . . 4  |-  ( ( S concat  ( T concat  U
) ) : ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) --> B  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) )
2522, 23, 243syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) ) )
26 ccatlen 12560 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `  ( T concat  U ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
27263adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( T concat  U
) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
2827oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
29 ccatlen 12560 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) )
3018, 20, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) )
31 lencl 12529 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3332nn0cnd 10855 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
34 lencl 12529 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
35343ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
3635nn0cnd 10855 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
37 lencl 12529 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. Word  B  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
38373ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
3938nn0cnd 10855 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  CC )
4033, 36, 39addassd 9619 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
4128, 30, 403eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S concat  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
4241oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
4342fneq2d 5672 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  (
0..^ ( # `  ( S concat  ( T concat  U ) ) ) )  <->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
4425, 43mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S concat  ( T concat  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )
4532nn0zd 10965 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
46 fzospliti 11826 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4746ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4845, 47sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
49 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  B )
50 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T  e. Word  B )
51 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
52 ccatval1 12561 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  x )  =  ( S `  x ) )
542adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S concat  T )  e. Word  B )
55 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  U  e. Word  B )
56 uzid 11097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5745, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
58 uzaddcl 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) )  /\  ( # `  T )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5957, 35, 58syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
60 fzoss2 11822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6212oveq2d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
6361, 62sseqtr4d 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
6463sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
65 ccatval1 12561 . . . . . 6  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 x ) )
6654, 55, 64, 65syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `
 x ) )
6720adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T concat  U )  e. Word  B )
68 ccatval1 12561 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
6949, 67, 51, 68syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
7053, 66, 693eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x ) )
7135nn0zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
7245, 71zaddcld 10971 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  ZZ )
73 fzospliti 11826 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7473ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7572, 74sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
76 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  S  e. Word  B )
77 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  T  e. Word  B )
78 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
79 ccatval2 12562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( ( S concat  T
) `  x )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) )
81 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  U  e. Word  B )
82 fzosubel3 11846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8382ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8471, 83sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
85 ccatval1 12561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8677, 81, 84, 85syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8780, 86eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  T ) `  x
)  =  ( ( T concat  U ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
882adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( S concat  T )  e. Word  B )
89 fzoss1 11821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  S )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
90 nn0uz 11117 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9189, 90eleq2s 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9232, 91syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9392, 62sseqtr4d 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  ( S concat  T ) ) ) )
9493sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S concat  T ) ) ) )
9588, 81, 94, 65syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  T ) `  x
) )
9620adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( T concat  U )  e. Word  B )
97 uzid 11097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
9872, 97syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
99 uzaddcl 11138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) )  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) ) )
10098, 38, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
101 fzoss2 11822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
10328, 40eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
104103oveq2d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  ( T concat  U ) ) ) )  =  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
105102, 104sseqtr4d 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  ( T concat  U ) ) ) ) )
106105sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
107 ccatval2 12562 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T concat  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )  ->  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
10876, 96, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
10987, 95, 1083eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
11012oveq2d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( x  -  ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
112 elfzoelz 11798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
113112zcnd 10968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  CC )
114113adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  CC )
11533adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
11636adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
117114, 115, 116subsub4d 9962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
118111, 117eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S concat  T ) ) )  =  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) ) )
119118fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
120 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  T  e. Word  B
)
121 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  U  e. Word  B
)
12240oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
123122eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) ) )
124123biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
12545adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
12671adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
12738nn0zd 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  ZZ )
12871, 127zaddcld 10971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  T )  +  ( # `  U
) )  e.  ZZ )
129128adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
)  e.  ZZ )
130 fzosubel2 11845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )  /\  ( ( # `  S )  e.  ZZ  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
131124, 125, 126, 129, 130syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
132 ccatval2 12562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( T concat  U
) `  ( x  -  ( # `  S
) ) )  =  ( U `  (
( x  -  ( # `
 S ) )  -  ( # `  T
) ) ) )
133120, 121, 131, 132syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
134119, 133eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
1352adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( S concat  T
)  e. Word  B )
13612, 13oveq12d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
137136eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( (
# `  ( S concat  T ) )..^ ( (
# `  ( S concat  T ) )  +  (
# `  U )
) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
138137biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
139 ccatval2 12562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S concat  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  ( S concat  T ) )..^ ( ( # `  ( S concat  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) ) )
140135, 121, 138, 139syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S concat  T
) ) ) ) )
141 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  S  e. Word  B
)
14220adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( T concat  U
)  e. Word  B )
143 fzoss1 11821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
14459, 143syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
145144, 104sseqtr4d 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
146145sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T concat  U ) ) ) ) )
147141, 142, 146, 107syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )  =  ( ( T concat  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
148134, 140, 1473eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
149109, 148jaodan 783 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15075, 149syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( (
( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15170, 150jaodan 783 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S concat  T ) concat  U
) `  x )  =  ( ( S concat 
( T concat  U )
) `  x )
)
15248, 151syldan 470 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( ( S concat  T ) concat  U ) `  x )  =  ( ( S concat  ( T concat  U ) ) `  x ) )
15317, 44, 152eqfnfvd 5979 1  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S concat  T ) concat  U )  =  ( S concat 
( T concat  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493    + caddc 9496    - cmin 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   concat cconcat 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  12600  cats1cat  12792  frmdmnd  15862  efginvrel2  16560  efgredleme  16576  efgredlemc  16578  efgcpbllemb  16588  numclwlk1lem2foa  24865  numclwlk1lem2fo  24869  signstfvc  28282
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