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Theorem ccatass 12708
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  =  ( S ++  ( T ++  U
) ) )

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12696 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( S ++  T )  e. Word  B )
2 ccatcl 12696 . . . . 5  |-  ( ( ( S ++  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  e. Word  B
)
31, 2stoic3 1656 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  e. Word  B
)
4 wrdf 12652 . . . 4  |-  ( ( ( S ++  T ) ++  U )  e. Word  B  ->  ( ( S ++  T
) ++  U ) : ( 0..^ ( # `  ( ( S ++  T
) ++  U ) ) ) --> B )
5 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( ( S ++  T ) ++  U ) : ( 0..^ ( # `  (
( S ++  T ) ++  U ) ) ) --> B  ->  ( ( S ++  T ) ++  U )  Fn  ( 0..^ (
# `  ( ( S ++  T ) ++  U ) ) ) )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  Fn  (
0..^ ( # `  (
( S ++  T ) ++  U ) ) ) )
7 ccatlen 12697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S ++  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S ++  T ) ++  U ) )  =  ( (
# `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
81, 7stoic3 1656 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S ++  T ) ++  U ) )  =  ( (
# `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
9 ccatlen 12697 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B )  ->  ( # `  ( S ++  T ) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
1093adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S ++  T
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )
1110oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
128, 11eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( ( S ++  T ) ++  U ) )  =  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )
1312oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  (
( S ++  T ) ++  U ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
1413fneq2d 5676 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( S ++  T
) ++  U )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( ( S ++  T
) ++  U ) ) )  <->  ( ( S ++  T ) ++  U )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
156, 14mpbid 213 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  Fn  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
16 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  S  e. Word  B )
17 ccatcl 12696 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T ++  U )  e. Word  B )
18173adant1 1023 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( T ++  U )  e. Word  B
)
19 ccatcl 12696 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T ++  U )  e. Word  B )  ->  ( S ++  ( T ++  U ) )  e. Word  B )
2016, 18, 19syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S ++  ( T ++  U ) )  e. Word  B )
21 wrdf 12652 . . . 4  |-  ( ( S ++  ( T ++  U
) )  e. Word  B  ->  ( S ++  ( T ++  U ) ) : ( 0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) ) --> B )
22 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( S ++  ( T ++  U
) ) : ( 0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) ) --> B  ->  ( S ++  ( T ++  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) ) )
2320, 21, 223syl 18 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S ++  ( T ++  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) ) )
24 ccatlen 12697 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `  ( T ++  U ) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
25243adant1 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( T ++  U
) )  =  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) )
2625oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T ++  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
27 ccatlen 12697 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T ++  U )  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S ++  ( T ++  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) )
2816, 18, 27syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S ++  ( T ++  U ) ) )  =  ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) )
29 lencl 12663 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. Word  B  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
30293ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
3130nn0cnd 10916 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  CC )
32 lencl 12663 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. Word  B  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
33323ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
3433nn0cnd 10916 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  CC )
35 lencl 12663 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e. Word  B  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
36353ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
3736nn0cnd 10916 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  CC )
3831, 34, 37addassd 9654 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  =  ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
3926, 28, 383eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 ( S ++  ( T ++  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
4039oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) )  =  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
4140fneq2d 5676 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  ( T ++  U ) )  Fn  ( 0..^ ( # `  ( S ++  ( T ++  U ) ) ) )  <->  ( S ++  ( T ++  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
4223, 41mpbid 213 . 2  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S ++  ( T ++  U ) )  Fn  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )
4330nn0zd 11027 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ZZ )
44 fzospliti 11937 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( # `  S
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4544ancoms 454 . . . 4  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) )  \/  x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
4643, 45sylan 473 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
47 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  B )
48 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  T  e. Word  B )
49 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
50 ccatval1 12698 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S ++  T ) `  x
)  =  ( S `
 x ) )
5147, 48, 49, 50syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S ++  T
) `  x )  =  ( S `  x ) )
5213adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( S ++  T )  e. Word  B
)
5352adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( S ++  T )  e. Word  B )
54 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  U  e. Word  B )
55 uzid 11162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  ZZ  ->  ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 S )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
57 uzaddcl 11204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  S
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) )  /\  ( # `  T )  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S ) ) )
5856, 33, 57syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  S
) ) )
59 fzoss2 11933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
6110oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  ( S ++  T ) ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
6260, 61sseqtr4d 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
0..^ ( # `  S
) )  C_  (
0..^ ( # `  ( S ++  T ) ) ) )
6362sselda 3461 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S ++  T ) ) ) )
64 ccatval1 12698 . . . . . 6  |-  ( ( ( S ++  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S ++  T ) ) ) )  -> 
( ( ( S ++  T ) ++  U ) `
 x )  =  ( ( S ++  T
) `  x )
)
6553, 54, 63, 64syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S ++  T ) ++  U ) `
 x )  =  ( ( S ++  T
) `  x )
)
6618adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( T ++  U )  e. Word  B )
67 ccatval1 12698 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T ++  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  S ) ) )  ->  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
6847, 66, 49, 67syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x )  =  ( S `  x ) )
6951, 65, 683eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( # `  S
) ) )  -> 
( ( ( S ++  T ) ++  U ) `
 x )  =  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x ) )
7033nn0zd 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 T )  e.  ZZ )
7143, 70zaddcld 11033 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  ZZ )
72 fzospliti 11937 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) )  /\  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7372ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
7471, 73sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
75 simpl1 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  S  e. Word  B )
76 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  T  e. Word  B )
77 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
78 ccatval2 12699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )  -> 
( ( S ++  T
) `  x )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S ++  T ) `  x
)  =  ( T `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) )
80 simpl3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  U  e. Word  B )
81 fzosubel3 11961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( (
# `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) )  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8281ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
8370, 82sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S
) )  e.  ( 0..^ ( # `  T
) ) )
84 ccatval1 12698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( 0..^ ( # `  T ) ) )  ->  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8576, 80, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( T `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8679, 85eqtr4d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S ++  T ) `  x
)  =  ( ( T ++  U ) `  ( x  -  ( # `
 S ) ) ) )
8752adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( S ++  T )  e. Word  B
)
88 fzoss1 11932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  S )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  C_  (
0..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
89 nn0uz 11182 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9088, 89eleq2s 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  S )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9130, 90syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
9291, 61sseqtr4d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  ( S ++  T ) ) ) )
9392sselda 3461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  ( S ++  T ) ) ) )
9487, 80, 93, 64syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S ++  T ) ++  U ) `  x
)  =  ( ( S ++  T ) `  x ) )
9518adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( T ++  U )  e. Word  B
)
96 uzid 11162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
9771, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  T
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
98 uzaddcl 11204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) )  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 S )  +  ( # `  T
) ) ) )
9997, 36, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) ) )
100 fzoss2 11933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
10226, 38eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )  +  ( # `  ( T ++  U ) ) )  =  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) )
103102oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  ( T ++  U ) ) ) )  =  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
104101, 103sseqtr4d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) 
C_  ( ( # `  S )..^ ( (
# `  S )  +  ( # `  ( T ++  U ) ) ) ) )
105104sselda 3461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) ) )
106 ccatval2 12699 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  ( T ++  U )  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) ) )  ->  (
( S ++  ( T ++  U ) ) `  x )  =  ( ( T ++  U ) `
 ( x  -  ( # `  S ) ) ) )
10775, 95, 105, 106syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x )  =  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
10886, 94, 1073eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )  ->  ( (
( S ++  T ) ++  U ) `  x
)  =  ( ( S ++  ( T ++  U
) ) `  x
) )
10910oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  -  ( # `  ( S ++  T ) ) )  =  ( x  -  ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) ) ) )
110109adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S ++  T ) ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
111 elfzoelz 11907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
112111zcnd 11030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  ->  x  e.  CC )
113112adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  CC )
11431adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
11534adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  CC )
116113, 114, 115subsub4d 10006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) )  =  ( x  -  ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) ) ) )
117110, 116eqtr4d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  ( S ++  T ) ) )  =  ( ( x  -  ( # `  S
) )  -  ( # `
 T ) ) )
118117fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S ++  T
) ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
119 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  T  e. Word  B
)
120 simpl3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  U  e. Word  B
)
12138oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) )
122121eleq2d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( # `  S )  +  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) ) ) )
123122biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) ) )
12443adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  S
)  e.  ZZ )
12570adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( # `  T
)  e.  ZZ )
12636nn0zd 11027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  ( # `
 U )  e.  ZZ )
12770, 126zaddcld 11033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  T )  +  ( # `  U
) )  e.  ZZ )
128127adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
)  e.  ZZ )
129 fzosubel2 11960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( # `  S
)  +  ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )  /\  ( ( # `  S )  e.  ZZ  /\  ( # `  T
)  e.  ZZ  /\  ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) )  e.  ZZ ) )  -> 
( x  -  ( # `
 S ) )  e.  ( ( # `  T )..^ ( (
# `  T )  +  ( # `  U
) ) ) )
130123, 124, 125, 128, 129syl13anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( x  -  ( # `  S ) )  e.  ( (
# `  T )..^ ( ( # `  T
)  +  ( # `  U ) ) ) )
131 ccatval2 12699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  (
x  -  ( # `  S ) )  e.  ( ( # `  T
)..^ ( ( # `  T )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( T ++  U
) `  ( x  -  ( # `  S
) ) )  =  ( U `  (
( x  -  ( # `
 S ) )  -  ( # `  T
) ) ) )
132119, 120, 130, 131syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) )  =  ( U `  ( ( x  -  ( # `  S ) )  -  ( # `  T ) ) ) )
133118, 132eqtr4d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S ++  T
) ) ) )  =  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
13452adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( S ++  T
)  e. Word  B )
13510, 11oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( # `  ( S ++  T ) )..^ ( ( # `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  =  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
136135eleq2d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
x  e.  ( (
# `  ( S ++  T ) )..^ ( ( # `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )
137136biimpar 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  ( S ++  T ) )..^ ( ( # `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )
138 ccatval2 12699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S ++  T )  e. Word  B  /\  U  e. Word  B  /\  x  e.  ( ( # `  ( S ++  T ) )..^ ( ( # `  ( S ++  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S ++  T ) ++  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S ++  T
) ) ) ) )
139134, 120, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S ++  T ) ++  U
) `  x )  =  ( U `  ( x  -  ( # `
 ( S ++  T
) ) ) ) )
140 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  S  e. Word  B
)
14118adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( T ++  U
)  e. Word  B )
142 fzoss1 11932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  S
) )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
14358, 142syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )
144143, 103sseqtr4d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) )  C_  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) ) )
145144sselda 3461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  ( T ++  U ) ) ) ) )
146140, 141, 145, 106syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x )  =  ( ( T ++  U ) `  (
x  -  ( # `  S ) ) ) )
147133, 139, 1463eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )..^ ( ( ( # `  S
)  +  ( # `  T ) )  +  ( # `  U
) ) ) )  ->  ( ( ( S ++  T ) ++  U
) `  x )  =  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x ) )
148108, 147jaodan 792 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
) )  \/  x  e.  ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S ++  T ) ++  U
) `  x )  =  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x ) )
14974, 148syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
( # `  S )..^ ( ( ( # `  S )  +  (
# `  T )
)  +  ( # `  U ) ) ) )  ->  ( (
( S ++  T ) ++  U ) `  x
)  =  ( ( S ++  ( T ++  U
) ) `  x
) )
15069, 149jaodan 792 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  S
) )  \/  x  e.  ( ( # `  S
)..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) ) )  ->  ( ( ( S ++  T ) ++  U
) `  x )  =  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x ) )
15146, 150syldan 472 . 2  |-  ( ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  /\  x  e.  (
0..^ ( ( (
# `  S )  +  ( # `  T
) )  +  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( ( S ++  T ) ++  U ) `
 x )  =  ( ( S ++  ( T ++  U ) ) `  x ) )
15215, 42, 151eqfnfvd 5985 1  |-  ( ( S  e. Word  B  /\  T  e. Word  B  /\  U  e. Word  B )  ->  (
( S ++  T ) ++  U )  =  ( S ++  ( T ++  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    C_ wss 3433    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   0cc0 9528    + caddc 9531    - cmin 9849   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148  ..^cfzo 11902   #chash 12501  Word cword 12632   ++ cconcat 12634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-concat 12642
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  12737  cats1cat  12931  frmdmnd  16595  efginvrel2  17318  efgredleme  17334  efgredlemc  17336  efgcpbllemb  17346  numclwlk1lem2foa  25705  numclwlk1lem2fo  25709  signstfvc  29292
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