Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccat2s1p2 Structured version   Unicode version

Theorem ccat2s1p2 30437
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  Y )

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cl 12415 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  <" X ">  e. Word  V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  <" X ">  e. Word  V )
3 s1cl 12415 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  <" Y ">  e. Word  V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  <" Y ">  e. Word  V )
5 1z 10791 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
6 2z 10793 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
7 1lt2 10603 . . . . . 6  |-  1  <  2
8 fzolb 11679 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1..^ 2 )  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  <  2 ) )
95, 6, 7, 8mpbir3an 1170 . . . . 5  |-  1  e.  ( 1..^ 2 )
10 s1len 12418 . . . . . 6  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
11 s1len 12418 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" Y "> )  =  1
1210, 11oveq12i 6215 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) )  =  ( 1  +  1 )
13 1p1e2 10550 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1412, 13eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) )  =  2
1510, 14oveq12i 6215 . . . . 5  |-  ( (
# `  <" X "> )..^ ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) ) )  =  ( 1..^ 2 )
169, 15eleqtrri 2541 . . . 4  |-  1  e.  ( ( # `  <" X "> )..^ ( ( # `  <" X "> )  +  ( # `  <" Y "> )
) )
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  1  e.  ( (
# `  <" X "> )..^ ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) ) ) )
18 ccatval2 12399 . . 3  |-  ( (
<" X ">  e. Word  V  /\  <" Y ">  e. Word  V  /\  1  e.  ( ( # `
 <" X "> )..^ ( ( # `  <" X "> )  +  ( # `
 <" Y "> ) ) ) )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) ) )
192, 4, 17, 18syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) ) )
2010oveq2i 6214 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
)  =  ( 1  -  1 )
21 1m1e0 10505 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2220, 21eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
)  =  0
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( Y  e.  V  ->  (
1  -  ( # `  <" X "> ) )  =  0 )
2423fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `
 <" X "> ) ) )  =  ( <" Y "> `  0 )
)
25 s1fv 12420 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  0 )  =  Y )
2624, 25eqtrd 2495 . . 3  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `
 <" X "> ) ) )  =  Y )
2726adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) )  =  Y )
2819, 27eqtrd 2495 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    < clt 9533    - cmin 9710   2c2 10486   ZZcz 10761  ..^cfzo 11669   #chash 12224  Word cword 12343   concat cconcat 12345   <"cs1 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354
This theorem is referenced by:  ccatw2s1p2  30441
  Copyright terms: Public domain W3C validator