MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Unicode version

Theorem ccat2s1p2 12613
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  Y )

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cl 12594 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  <" X ">  e. Word  V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  <" X ">  e. Word  V )
3 s1cl 12594 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  <" Y ">  e. Word  V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  <" Y ">  e. Word  V )
5 1z 10906 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
6 2z 10908 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
7 1lt2 10714 . . . . . 6  |-  1  <  2
8 fzolb 11814 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1..^ 2 )  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  <  2 ) )
95, 6, 7, 8mpbir3an 1178 . . . . 5  |-  1  e.  ( 1..^ 2 )
10 s1len 12597 . . . . . 6  |-  ( # `  <" X "> )  =  1
11 s1len 12597 . . . . . . . 8  |-  ( # `  <" Y "> )  =  1
1210, 11oveq12i 6307 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) )  =  ( 1  +  1 )
13 1p1e2 10661 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1412, 13eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) )  =  2
1510, 14oveq12i 6307 . . . . 5  |-  ( (
# `  <" X "> )..^ ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) ) )  =  ( 1..^ 2 )
169, 15eleqtrri 2554 . . . 4  |-  1  e.  ( ( # `  <" X "> )..^ ( ( # `  <" X "> )  +  ( # `  <" Y "> )
) )
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  1  e.  ( (
# `  <" X "> )..^ ( (
# `  <" X "> )  +  (
# `  <" Y "> ) ) ) )
18 ccatval2 12576 . . 3  |-  ( (
<" X ">  e. Word  V  /\  <" Y ">  e. Word  V  /\  1  e.  ( ( # `
 <" X "> )..^ ( ( # `  <" X "> )  +  ( # `
 <" Y "> ) ) ) )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) ) )
192, 4, 17, 18syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) ) )
2010oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
)  =  ( 1  -  1 )
21 1m1e0 10616 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2220, 21eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
)  =  0
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( Y  e.  V  ->  (
1  -  ( # `  <" X "> ) )  =  0 )
2423fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `
 <" X "> ) ) )  =  ( <" Y "> `  0 )
)
25 s1fv 12599 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  0 )  =  Y )
2624, 25eqtrd 2508 . . 3  |-  ( Y  e.  V  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `
 <" X "> ) ) )  =  Y )
2726adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( <" Y "> `  ( 1  -  ( # `  <" X "> )
) )  =  Y )
2819, 27eqtrd 2508 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( <" X "> concat  <" Y "> ) `  1 )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    - cmin 9817   2c2 10597   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   concat cconcat 12517   <"cs1 12518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526
This theorem is referenced by:  ccatw2s1p2  12621
  Copyright terms: Public domain W3C validator